Задачи сопряжения решений уравнения Гельмгольца в координатных областях

• Автор: Тумаков, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 127 с. : ил

Оглавление
Введение
Глава 1. Преобразование Фурье и аналитические функции. Абстрактная приближенная схема
§1. Распределения и преобразование Фурье
§2. Задача Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости и в полупо-лосе • • •
§3. Абстрактная приближенная схема
Глава 2. Задачи дифракции электромагнитных волн на металлических лентах и на ступенчатой неоднородности
§4. Задача дифракции на металлической ленте
§5. Задача дифракции на периодической решетке
§6. Метод усечения БСЛАУ, I
§7. Задача дифракции на стыке волноводов. Метод интегральных уравнений
§8. Задача дифракции на стыке волноводов. Метод сумматорных уравнений
§9. Метод усечения БСЛАУ, II
Глава 3. Сопряжение открытых диэлектрических волноводных структур
§10. Задача Коши для уравнения Гельмгольца в четверти плоскости
§11. Задача Коши для уравнения Гельмгольца в четверти плоскости (продолжение)
§12. Задача Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости, составленной из двух квадрантов
§13. Задача дифракции на стыке двух квадрантов
§14. Стык планарных диэлектрических волноводов
Литература
Введение

В диссертации рассмотрен ряд вопросов, связанных с применением и обоснованием метода интегрального преобразования Фурье при решении граничных задач для двумерного уравнения Гельмгольца. Исследования ориентированы на дальнейшее развитие математического аппарата метода частичных областей, широко применяемого при исследовании задач волноводной электродинамики.
Многие задачи электродинамики могут быть сформулированы как краевые задачи для системы уравнений Максвелла [43], [67]. Для однородной изотропной среды в скалярном случае, когда искомое поле не зависит от одной из пространственных переменных, любое решение системы уравнений Максвелла может быть выражено через две потенциальные функции, каждая из которых является решением уравнения Гельмгольца. В общем случае потенциальные функции удовлетворяют системе двух уравнений с частными производными 2-го порядка. Таким образом, исходные краевые задачи для системы Максвелла сводятся к краевым задачам для двух скалярных или векторного потенциального уравнения.
Пусть нужно найти электромагнитное поле в сложной области, разделенной на простые подобласти, заполненные однородной и изотропной средой с заданными свойствами. На границах раздела сред должны быть непрерывны касательные составляющие электрического и магнитного вектора. Если некоторые участки границ подобластей являются металлическими (бесконечно тонкими и идеально проводящими), то на них должны обращаться в нуль касательные составляющие электрического вектора.
Метод частичных областей (МЧО) или, как принято говорить, метод сшивания, состоит в следующем. Пусть в каждой подобласти сложной области искомое решение системы Максвелла или, что чаще используется, решение потенциального уравнения (уравнения Гельмгольца) можно представить в виде ряда с неизвестными коэффициентами или в виде интеграла с неизвестной плотностью. Тогда из.условий сопряжения поля легко получить сумматорные или интегральные уравнения, определенные на всех участках границ подобластей. Эти функциональные уравнения можно заменить на бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ), если спроектировать их на подходящие системы функций.
Аналитические решения задач сопряжения решений уравнений с частными производными удается получить лишь для относительно простых координатных структур. Задачу принято называть координатной, если границы частичных областей являются координатными линиями или поверхностями. Многие ключевые граничные задачи электродинамики, решения которых можно получить в явном виде, рассмотрены в известных монографиях [44], [40]. В этих книгах использованы три строгих метода: метод Винера-Хопфа (Винера-Хопфа-Фока), метод Джонса и ме-

тод вычетов. Метод Винера-Хопфа в задачах электродинамики состоит в следующем: исходная граничная задача приводится к интегральному уравнению типа свертки (как правило, методом функции Грина), которое с помощью интегрального преобразования Фурье переводится в функциональное уравнение. При решении функционального уравнения используется метод факторизации. В методе Джонса [44], §2.2, [40], гл.З, §7 интегральное преобразование применяется непосредственно к исходному уравнению с частными производными, в результате получается точно такое же функциональное уравнение Винера-Хопфа. Метод вычетов [40] позволяет найти явные решения некоторых БСЛАУ с помощью вспомогательных функций комплексного переменного.
Приближенные методы решения строгих уравнений, возникающих в задачах электродинамики основаны чаще всего на сведении этих уравнений к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. При разработке численных алгоритмов наиболее естественно использовать метод усечения (метод редукции) [32], гл.1, §2, [31], гл.ХГ/, §3, оставляя в алгебраической системе конечное число уравнений и конечное число неизвестных. Отметим, что к конечным СЛАУ приводят и другие приближенные методы решения задач электродинамики, например, квадратурные методы решения интегральных уравнений.
С 50-х годов прошлого века метод частичных областей систематически используется при исследовании задач дифракции электромагнитных волн в сложных структурах. Относительная простота метода позволила получить ряд результатов, важных как в теоретическом, так и в практическом отношении. Но было установлено, что необоснованное применение метода усечения БСЛАУ может привести к неверным решениям. При этом ряд условий, предложенных для проверки истинности численного решения, оказался малоэффективным [72], с.60 (было установлено, что эти условия являются необходимыми, но не достаточными). Известно, например, явление относительной сходимости, впервые описанное в работе [85] (см. также [40]), когда при разных способах усечения БСЛАУ могут быть получены различные ее решения.
Следует отметить, что полное обоснование метода усечения БСЛАУ задач волноводной электродинамики провести достаточно сложно. На сегодняшний день это сделано только для очень ограниченного круга задач.
Многочисленные исследования показали, что бесконечные системы уравнений, возникающие при прямом проектировании функциональных уравнений на системы базисных функций, как правило, являются нерегулярными. Можно выделить два подхода, позволяющих решить эту проблему: или разрабатывать методы преобразования БСЛАУ (исходных функциональных уравнений) к виду, допускающему усечение, или искать другие методы решения задач электродинамики, приводящие к регулярным БСЛАУ. Метод полуобращения (или метод задачи Римана-Гильберта), раз-
Формулы (2.40) и (2.41) дают решение задачи о рассеянии электромагнитных' волн, набегающих на стык (сочленение) двух плоских волноводов равной толщины с металлическими стенками с диэлектрическим заполнением.
§3. Абстрактная приближенная схема. Вспомогательные неравенства
Рассмотрим основные положения абстрактной схемы приближенных методов решения линейных операторных уравнений [50], а также докажем несколько вспомогательных неравенств для конечных и бесконечных сумм. С их помощью в §6 и §9 будет проведено обоснование метода усечения для БСЛАУ.
3.1. Абстрактная приближенная схема.
Пусть X, У, X, ¥ - нормированные пространства, А: X -*У,А:Х —> У - точный и аппроксимирующий линейные операторы,
- точное и аппроксимирующее уравнения. При теоретическом обосновании приближенного метода необходимо ответить на следующие вопросы:
1) при каких условиях существует и единственно решение аппроксимирующего уравнения;
2) как оценить погрешность приближенного решения;
3) если задана последовательность аппроксимирующих уравнений, то сходится ли последовательность приближенных решений к точному и
4) какие алгоритмы могут быть использованы при численном решении аппроксимирующего уравнения.
Сформулируем основные утверждения абстрактной схемы.
Пусть Тх '■ X X, Ту : У У я Бх '■ X -* X, Бу : У —у У - линей-
ные ограниченные операторы аппроксимации и интерполяции, причем такие, что
Пусть х £ В{А), х £ 0{А) и у — Ах,у = Ах. Если Бхх £ В(А)жх — £У ® ф. А(А), то 3 М > 0 I
Ах = у, х £ X, у £ У, Ах = у, х £ X, у € У
(3.1)
II® - БхЩх < М{||5у|| ||Гуу - у\¥+ 11^11 \{А - ТуАЗх)х\у+ +\(ЗуТу-1)А(х-Зхх)\у}.
(3.2)