Об усреднении монотонных эллиптических операторов второго порядка

• Автор: Рычаго, Михаил Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 64 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Усреднение нелинейных вариационных задач
1.1. Постановка задачи
1.2. Предварительные результаты
1.3. Доказательство основной теоремы
1.4. Вспомогательные вопросы
2. Усреднение нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в перфорированных областях
2.1. Постановка задачи
2.2. Предварительные результаты
2.3. Доказательство основной теоремы
2.4. Свойства усредненного оператора
3. Усреднение монотонных операторов, связанных с общей мерой
3.1. Постановка задачи
3.2. Предварительные результаты
3.3. Техника усреднения
Литература

Введение
1. Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам усреднения для уравнений с частными производными. Этот новый раздел дифференциальных уравнений с частными производными возник в основном за последние 30 лет и имеет многочисленные важные применения в теории композитных и перфорированных материалов, теории фильтрации, теории дисперсных сред и в других областях физики, механики и современной техники.
Сам термин усреднение обычно ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах Пуанкаре, Ван дер Поля, Крылова, Боголюбова и др. Длительное время, начиная с прошлого века (работы Максвелла и Рэлея), вопросы усреднения для уравнений с частными производными изучались преимущественно физиками и механиками и оставались вне поля зрения математиков.
При рассмотрении математических моделей микронеоднородных сред их локальные характеристики, как правило, описываются функциями аех), где £ > 0 - малый параметр. При этом функция а(х) может быть периодической, почти периодической, реализацией однородного случайного поля или относиться к другому определенному классу. Процессы, протекающие в таких материалах, обычно описываются уравнениями с частными производными, решение которых сопряжено с большими трудностями, так как их коэффициенты быстро осциллируют. В связи с этим появляется необходимость построения усредненных моделей таких задач.
Теория усреднения краевых задач в перфорированных областях и тесно связанная с ней теория дифференциальных уравнений с бы-строосциллирующими коэффициентами в настоящее время интенсивно развиваются многими отечественными и зарубежными математиками. Имеется ряд монографий, посвященных математическим вопросам усреднения. Это книги Марченко, Хруслова [1], Bensoussan, Lions, Papanicolau [2], Санчес-Паленсии [3], Бахвалова,

Панасенко [4], Олейник, Иосифьяна, Шамаева [5], Жикова, Козлова, Олейник [6] и др., в которых также имеется обширная библиография работ по теории усреднения и связанным с ней прикладным задачам.
Рассмотрим одну модельную постановку задачи усреднения в перфорированной области
ппд£, (0.1)
где 0, - фиксированная ограниченная область в 1ЛЛ, множество дг = £(3 = {ех,х е д} - гомотетическое сжатие периодического открытого (не обязательно связного) множества д С Для наглядности можно представить себе, что д - это внешность периодически расположенной системы шаров в ШЛ.
В области (0.1) рассмотрим простейшее эллиптическое уравнение
'-Аи£ + и£ = / в Опде, / € Т2(Д),
< 1&ипдЯ' = о, (0.2)
„ «г|аоп<9г
с условием Неймана на части С1С}дС2£ границы области (0.1) и условием Дирихле на остальной части границы.
Уравнение (0.2) понимается в следующем смысле. Введем собо-левское пространство И/1,р(12пде) как замыкание (?“(□) по норме
(|л|р + |Ун|р) <1х 1 , р > 1.
Тогда по определению и£ € И/1’2(Опде) называется решением задачи (0.2), если выполнено интегральное тождество:
J (Vи£ Vр> + и€<р) <1х = J ф<рйх е И/1,2(0 П де). (0.3)
пп оп Смысл усреднения состоит в том, что решение ие, определенное только в перфорированной области П П должно в определенном смысле сходиться к решению ”усредненного” уравнения, заданного уже во всей области О
Пусть
, , Г 1, если X 6 д /л
Х(э0 = | 0> если * е да* д (°-4)
- характеристическая функция множества ((}, хЛх) = х{е~1х)- Сформулируем типичную теорему усреднения для задачи (0.2).

а также справедлива сходимость решений в смысле:
рдх = 0, (2.12)
Г2П (?£
где и£ - решение задачи (2.3), а и0 - решение усредненной задачи (2.10). 2.2. Предварительные результаты
В этом параграфе мы укажем некоторые факты, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Для доказательства основной теоремы мы используем некоторые обобщения леммы о компенсированной компактности. Дадим сначала формулировку этой леммы.
Лемма 2.2 (см. [6], стр. 12). Пусть ре ,и£ - векторы из 1А(0)М,
ре —> р°, и£ Уо слабо в ЬР(П)М.
Если дополнительно гоЫ£ = 0 и сИу ре — /£, где /г —* / слабо в 1РЕ1), то при £ —»
р£ и£ — р° го *-слабо в Ьх{0,),
т.е.
J <РРе - йх = J<рр° у0 дх /р 6 С£°(Г2).
Приведем некоторое уточнение леммы 2.1. Для этого напомним известный критерий слабой компактности в Ь*(0).
Критерий слабой компактности в Ь1{С1) (см. [24, стр. 238]). Следующие утверждения равносильны:
a) последовательность ю£ 6 Ь1 слабо компактна в £1(П);
b) последовательность т£ равностепенно интегрируема, т.е
любого натурального п найдется 6 = б{п), такое,что
ги£ дх <

для любого е > 0 и всякого измеримого множества А с А < б;