Периодические решения неавтономных систем дифференциальных уравнений

• Автор: Ретюнских, Наталья Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.08
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
ГЛАВА 1. Периодические решения системы дифференциальных уравнений с матрицей линейного приближения специального вида
§1. Существование периодических решений неавтономной
системы дифференциальных уравнений с параметром
§2. Достаточные условия существования ненулевых периодических решений
ГЛАВА 2. Исследование проблемы существования ненулевых
периодических решений с использованием нелинейных членов системы
§1. Признаки существования периодических решений
§2, Существование ненулевых периодических решений в случае, когда ранг матрицы Якоби меньше п
§3. Определение числа периодических решений, появляющихся при изменении параметра
ГЛАВА 3. Приведение матрицы A(t) к диагональному и треугольному виду с помощью постоянной матрицы

§1. Приведение матрицы к диагональному виду
§2. Приведение матрицы к треугольному виду
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В настоящей работе рассматривается неавтономная система дифференциальных уравнений, зависящих от параметра с непрерывной по фазовым переменным и параметру правой частью. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любых значениях параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых периодических решений.
Эта проблема занимает одно из центральных мест в качественной теории дифференциальных уравнений и при исследовании качественного характера различных математических моделей в физике, химии, биофизике и других науках [1, 18, 24, 26, 48, 49, 59, 60, 62].
Изучению периодических решений посвящено большое количество работ. Однако в силу сложности проблемы и многообразия конкретных систем, описывающих реальные процессы, общего подхода к решению поставленной задачи пока не найдено. Недостаточно изучена область критических случаев, так как необходимость привлечения к рассмотрению нелинейных форм высоких порядков приводит к значительному усложнению задачи. Исключительно сложными являются также вопросы исследования существенно нелинейных систем. В связи с выше изложенным, задача поиска условий существования ненулевых периодических решений в критических случаях является весьма актуальной.
Цель работы состоит в получении достаточных условий существования в окрестности ТОЧКИ X = 0 ненулевых периодических решений конечномерной системы дифференциальных уравнений

где матрица Ьп состоит из к первых строк матрицы - М1Ч, Ьа состоит из оставшихся строк, і = 1,2. Полагая в системе (1.58) а12) = 0, после деления последнего уравнения на ркап будем иметь
| ат = Ьп(Л)ат + о(8Л\)ркап + о(рк)ап + о(||а||),
[АЛ = Ь12 (Л)аа) /рка„ + о(||ДЯ(|) + о{р) + о(||а||)/ркап.
Покажем, что существуют такие 8 > 0, в > 0, а„ ф 0, рФ 0, что если |аг(1)| < 5, ||АА|| < £, ТО
| ІА і (Л)ас4 + о(]АЛІ)ркап + о(рк )а„ + о(||ог||)| < 8,
ІІАг{Л)ат 1{рка„) + о(||АЯ||) + 0(р) + о(И|)//>* аи|| <
Действительно, нетрудно видеть, что данные неравенства выполнятся, если выбрать г є (0,1), р є (0,1) согласно условию: если ||АЯ|| < с, то
Німі)! < -є/4,
Іка)|<і/4,
ІКрОІЬ1/4,
||о(/?)|| < гг/4,
ц2{л)ІРк<Ф,
где Л = р{л + АД), 8 є (О, А,) согласно условию
|[о(|М|)|| < рк8є/4,
если ||а|| < 8 и а„ = 8 ф О. Так же, как и в предыдущей теореме, отсюда выводим, что система (1.1) имеет ненулевое со -периодическое решение. Теорема доказана.