Оптимальная стабилизация линейных автономных систем с последействием

• Автор: Быков, Данил Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 134 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. АППРОКСИМИРУЮЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
1. Постановка задачи построения аппроксимирующих характеристических уравнений
2. Резольвента инфинитезимального оператора
3. Определители возмущения
4. Характеристические определители
5. Разложения Шмидта
ГЛАВА 2. КАНОНИЧЕСКИЕ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
1. Постановка аппроксимационной задачи оптимальной стабилизации для линейной автономной системы дифференциальных уравнений с последействием
2. Каноническое разложение пространства состояний
3. Сходимость последовательности проекторов
4. Канонические аппроксимации задачи оптимальной стабилизации
5. Топологический изоморфизм пространств НЦ и С,у
6. Метод Понтрягина построения оптимальных стабилизирующих управлений
7. Численное построение стабилизирующих управлений с помощью метода канонических аппроксимаций
ГЛАВА 3. УСРЕДНЯЮЩИЕ АППРОКСИМАЦИИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Усредняющие аппроксимации для линейных автономных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием
2. Асимптотические свойства аппроксимирующих полугрупп неуправляемой системы дифференциальных уравнений с запаздыванием
3. Экстремальные свойства оптимального стабилизирующего управления системы дифференциальных уравнений с запаздыванием

4. Асимптотические свойства аппроксимирующих полугрупп управляемой системы дифференциальных уравнений с запаздыванием
5, Численное построение стабилизирующих управлений с помощью метода усредняющих аппроксимаций
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Интерес к дифференциальным уравнениям с последействием стимулируется проблемами математического моделирования в различных областях естествознании. Основные положения теории этих уравнений изложены в монографиях 11.13. Ачболеиа, В.11. Максимова и Л.Ф. Рахматуллпной [2], Р. Веллмана и К.Л. Кука 114], В.Б. Колмановского и В.Р. Носова [52], H.H. Краеовского [G1], А.Д. Мышкиса [811, Дж. Хейла [98). Л.Э. Эль-сгольца и С.Б. Норкина [102]. В теории устойчивости дифференциальных уравнений с последействием имеются различные направления. Соответствующая библиография весьма обширна. Первый метод Ляпунова развивался в работах Р. Веллмана, К.Л. Кука, А. Ха-ланая, Дж. Хейла, С.Н. Шиманова. Второй метод Ляпунова получил развитие в работах
H.H. Краеовского, В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, Ю.С. Осипова, Б.С. Разумихина, Д.Я. Хусайнова, С.Н. Шиманова. Устойчивость по отношению к постоянно действующим возмущениям изучалась в работах Н.В. Азбелева. Л.М. Березанского, А.И. Домошиицко-го, В.В. Малыгиной, П.М. Симонова.
Теория стабилизации дифференциальных уравнений с последействием имеет важное прикладное значение. В рамках этой теории развивались различные направления. Соответствующая библиография весьма обширна. Возможность стабилизации динамической системы тесно связана с ее управляемостью |4G|. Условия управляемости систем дифференциальных уравнений с последействием изучалась в работах [10,33,69,73-75,90,97]. Для систем дифференциальных уравнений с последействием предлагались различные методы стабилизации [4,6,8,11,36,47,48,66,67,75,76,78,83,84,90-93,103,106,108,114,116,120,127, 129,132,138].
Работы H.H. Краеовского, посвященные проблеме аналитического конструирования оптимальных регуляторов для систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, показали, что при ее решении удобно использовать функциональное пространство состояний [56-59,63]. H.1L Красовскнй определил достаточные условия существования оптимального стабилизирующего управления. Ю.С. Осипов установил их связь с вполне управляемостью специальной конечномерной системы [62,82]. Постановка задачи оптимальной стабилизации в функциональном пространстве состояний, предложенная
H.H. Красовским, позволила решать задачи оптимальной стабилизации для дифференциальных уравнений в частных производных [125,133|, стохастических дифференциальных уравнений [5,49,51,68,117] и дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [54,109,110,118,119], а также задачи оптимального управления системой с последействием на конечном отрезке времени [12, 50,123, 124,126,135]. Линейно-квадратичная

(0) = s 1/тД 1 (An) | j до (0 (0U (0 d£+ (ln + J g0 (£) у" (£) j £0 (U)
V;i (-t) = -4* (~T) Фі (0), (ü) = .5 /m/0 ( определяет собственный вектор ip = f>о оператора (R™*Н™)12, отвечающий положительному собственному числу s, с помощью формул $о{&) = <ро(д) 4- if [д) ф (0), 0 Є [—т, 0), tpa (0) = s“1/mA*_1 (А0) (/°Тфт-1 (£)eXoid{, + (л. -І- /°Т ц’ (С) ел°4 t/<) V’m-i (ü)j при
этом ф = фи = t/&. Здесь величины ф1ч (0), fc = 1, m — 1, определяются рекуррентными формулами фк (0) = (А0) (/°т $k_L (£) + /"т г-/' ( к = 1, m — 1. Для случая m = 1в краевой задаче остаются уравнения и краевые условия, отвечающие переменным <р0 и ф0.
Доказательство. Учитывая представлений оператора R0 уравнения Нофк = тфкл, к = 0, т — 2, Ro ф'к+i ~ №+i — s 1’"фк, к = 0, т — 2,
$ = Апо - в-тфт.г
с краевыми условиями £>ь+1(0) = а-17"1/о {фк), к = 0, т — 2, ii’o(O) = s~]'mf0
Учитывая представление оператора /?„ преобразуем уравнения ЯФк = А:
0,т - 2, Яаф,„-г = з1,гпфо к виду
- ехр(-А0(т + &)) + А0 j exp(Ä0(£ - 19))jy* (С) /о»

+ |exp(Ä0(£ - д))МО<и; = s1/m'k+1(1?), є [—г, 0), /о, (v~fc) =,тфк+г (0) ,k = Q, т - 2.

- 77*("~т) ехР(—Äo(r + г?)) + Ао J ехр(А0( - $))//* (О rfcj /о.
+ Jехр(А0(£ - *))&,_, ({)« = .s1/MV?o(tf), і? Є [-т, 0), /0. (X :) = в1/мб> (0).
Здесь 4|,(і)) = іі>к+і{д) - п’{0)фк+l(O), /О = 0,m-2, фи(д) = фо(0) У* (д) фо(0), і) Є [—т, 0). Интегральные уравнения заменяем дифференциальными уравнениями
Фк+1 = -оФк+1 + Я~1/тпфк - А01]*{д)Фк+1 (0), к = 0,т - 2,
Фи = — ÄqV?0 + і'-17"1-!/’,«-! - бЧ)Фо (0)