Интегральные операторы с ядрами, близкими к разностно-суммарным

• Автор: Камалян, Армен Грачикович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 116 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ I. Некоторые сведения о нётеровых операторах

§ 2. Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных операторов

§ 3. Обращение некоторых интегральных операторов

Глава II. НЁТЕРОВОСТЪ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ,

БЛИЗКИМИ К РАЗНОСТНО-СУММАРНЫМ. ДИСКРЕТНЫЕ АНАЛОГИ

§ I. Нётеровость интегральных операторов парного типа

§ 2. Нётеровость дискретных аналогов интегральных операторов с почти разностно-суммарным ядром

§ 3. Нётеровость почти тёплицевых операторов

Глава III. ОБРАЩЕНИЯ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОЧТИ

РАЗНОСТНО-СУММАРНЫМ ЯДРОМ

§ I. Построение обратного оператора
§ 2. Системы уравнений со специальной правой частью.
Построение правого обратного оператора
§ 3. Случай мозаичного ядра
ЛИТЕРАТУРА

I. Ряд задач физики и техники приводит к интегральным уравнениям с разностным ядром. Таковыми являются задачи оптимального синтеза [I], [2] , рассеяния света в атмосфере [3] -[5], дифракции на ленте [б] , движения крыла под водой [7]-[9]. Причиной этого обычно является определенная однородность рассматриваемых процессов во времени или в пространстве. Такие же уравнения возникают и в важных математических вопросах: в теории игр, массового обслуживания, в обратных задачах и т.д.
Первые глубокие результаты об интегральных уравнениях на полуоси с ядрами, зависящими от разности аргументов, были получены в 1931 г. Н.Винером и Э.Хопфом. После выхода их классической работы [10] такие уравнения получили названия уравнений Винера-Хоп-фа. К настоящему времени теория уравнений Винера-Хопфа развита достаточно полно. В ее разработке принимали участие целый ряд математиков (главным образом, советских). К работе [10] вплотную примыкают работы В.А.Фока [II], [12] и Е.Рейснера [13] , посвященные, как и [10] , решению неоднородного уравнения Винера-Хопфа с ядрами, убывавшими на бесконечности, как показательная функция. Работы И.М.Рапопорта [14], [15] важны тем, что в них был указан новый метод решения уравнений типа свертки и они послужили исходной точкой для последовавшего затем большого, - продолжающегося до наших дней, - цикла работ, основанных на теории краевых задач аналитических функций. В 1958 г. была опубликована фундаментальная работа М.Г. Крейна [16] , начиная с которой в исследованиях подобных уравнений широко применяются идеи и методы функционального анализа
Результат, полученный М.Г.Крейном в работе [16] относительно условий нормальной разрешимости и числа линейно независимых

решений в раде функциональных пространств (ЬР,рН и др.) в случае с абсолютно интегрируемым ядром, послужил исходной точкой для серии исследований в этом направлении. Подробный обзор этих работ дан в монографии И.Ц.Гохберга и И.А.Фельдмана [17] (см. также монографию Ф.Д.Гахова, Ю.И.Черского [18].).
Продолжая идеи И.М.Рапопорта, М.Г.Крейн в [16] привел уравнение Винера-Хопфа к краевой задаче Римана и с помощью специальных теорем теории аналитических функций показал разрешимость последней в случае, когда коэффициент задачи является преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой функции. Работы [14] - [16] показали, что развитие теории уравнений в свертках тесно связано с успехами в изучении краевых задач аналитических функций и эквивалентных им сингулярных интегральных уравнений. Теория сингулярных интегральных уравнений с гёльдеровскими коэффициентами в классе гё-льдеровских функций изложена в известных монографиях Н.И.Мусхели-швили [19] и Ф.Д.Гахова [20] (В этих же монографиях содержатся подробные исторические сведения о развитии названной теории). Подробное изложение теории сингулярных интегральных уравнений в пространствах Ьр с весом с непрерывными коэффициентами, начатое в работах И.Б.Симоненко [21] , Б.В.Хведелидзе [22] , [23] , В,В.Иванова [24] , И.Ц.Гохберга [25] можно найти в монографии И.Ц.Гохберга и
Н.Я. Крупника (26]
В ряде работ исследование ведется при допущении разрывных коэффициентов. В статьях И.Б.Симоненко [27] - [31] изучены краевая задача Римана и сингулярные интегральные уравнения с измеримыми коэффициентами О1 в предположении, что колебание ап0.(>(1:) в точках разрыва остается меньше яг . В работах [32] , [33] И.Ц.Гох-бергом и Н.Я.Крупником изучены алгебры сингулярных интегральных операторов в пространствах с весом, с кусочно-непрерывными

Воспользовавшись равенствами Х/П±У=П7 , Х/НдАХ/=НУд ,
представим операторы (>, б'1 в следующем виде
5 = (А1 + Н|'1)П++ (Аг + Н|г) П.
где опять же ^ (j = ^,Z) матрицы соответственно порядков
(2&>*2&) И (2 «4*2?»),
Как известно (см. например [17] стр.291-293), операторы такого вида нетеровы одновременно, соответственно, во всех пространствах
1^(К) и 1^Н(1Ю (ир^оо) и при этом их индекс не зависит от числа р . Пользуясь тем, что теорема уже доказана в случае р=2 и справедливы равенства
, получим доказательство теоремы. 4°. Особый интерес может вызвать односторонний оператор м=п+%п+ (типа Винера-Хопфа), действующий в 1^р (0, оо) , как нетрудно проверить по формуле
к> t х+1:-т
[Му){Х] =^(Х)-^|к(*-1) + Г('Х+^+^р(М/)(|(Т)с1^([г (2.1.21)
о г--От:
00.
Исходя из вида (2.1.21) естественно считать, что т*(х) и ^(х) заданы на положительной полуоси и вне ее принимают нулевые значения.
В силу предложения 1.1.1 операторы Ж и !%П++П_ нетеровы одновременно. Подставляя и У~1 $ из теоремы
2.1.1 получим
Теорема 2.1.2. Пусть р(х) обладает первообразной, принадле-