Об оценках множеств достижимости нелинейных управляемых объектов

• Автор: Мусса Абубакар
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Оценки множеств достижимости нелинейных управляемых объектов изнутри
§1.1. Теоремы о накрытии нелинейным отображением
§1.2. Методика применения теоремы 1.2 для оценки множеств
достижимости изнутри для нелинейных управляемых объектов
§1.3.Управляемый математический маятник
§1.4. Управляемое уравнение Ван-дер-Поля
§1.5.Управляемое уравнение Дуффинга
§1.6.Математическая модель управляемого твердого тела с закрепленной
точкой
Глава 2. Оценки множеств достижимости изнутри для нелинейных
управляемых объектов с малой нелинейностью
§2.1 .Теоремы о накрытии слабо нелинейным отображением
§2.2. Методика применения теоремы 2.2 для оценки множеств достижимости изнутри для управляемых объектов с малой
нелинейностью
§2.3.Управляемое уравнение Ван-дер-Поля с малой нелинейностью
§2.4.Нелинейный интегратор Р. Брокитта с малой нелинейностью
Дополнение
Список литературы

Введение
Физические процессы, имеющие место в технике, как правило, управляемы. В математической теории управления (см.[8],[12],[18]) рассматривается управляемый процесс вида
х=/(х,и), 40) = х0 , (0.1)
где хеЯп, ие.и а Кр. Управления и(1)<=1/, ^е[0,Г), Т> 0 рассматриваются в классе ограниченных по модулю и измеримых по Лебегу функций, а соответствующие решения 40 - х((, и( )) начальной задачи (0.1) ищутся в классе абсолютно непрерывных функций. Множество достижимости /0(д'о ,Т) управляемого процесса (0.1) из начального состояния 40) = х0 в
момент времени / = Т > 0 определяется формулой
£>(*0,7> 0(^,4-)), (0-2)

где объединение берется по всевозможным измеримым управлениям и(*)4е[0,Г]. Множество нуль-управляемости С( Т) (см. [12]) управляемого объекта (0.1) определим как множество начальных точек х() е Ип, каждую из которых можно привести в х1 - 0 с помощью ограниченных измеримых управлений м(г)е V,1> 0.
Одной из фундаментальных задач теории управления динамическими системами является проблема определения или оценивания множеств достижимости фазовых состояний системы в различные моменты времени. Множества достижимости играют важную роль при решении задач управления, наблюдения и прогнозирования. Так, точное или приближенное знание множеств достижимости управляемой системы позволяет оценить предельные возможности системы управления, выбрать оптимальное или су-боптимальное управление. Для системы, подверженной возмущениям, мно-
жества достижимости дают оценку разброса траекторий под влиянием этих возмущений. Методы дифференциальных игр и гарантированной фильтрации по данным наблюдений также тесно связаны с понятием множества достижимости.
Все указанные задачи сводятся к построению или оцениванию множеств, в которых может лежать фазовый вектор системы, и к операциям с этими множествами. Однако практическое построение множеств достижимости, особенно в нелинейных системах большой размерности, представляет собой весьма сложную задачу даже при использовании современных ЭВМ. Поэтому заслуживают внимания эффективные методы аппроксимации и оценки этих множеств.
Множества достижимости управляемых объектов являются предметом исследований многих работ в математической теории управления. Их изучают с разных точек зрения, например, оценивают сверху, аппроксимируют в смысле метрики Хаусдорфа просто устроенными выпуклыми компактами (см., например [24]) и т.д.
Предметом нашего исследования является получение оценок множества достижимости £>(х0, Т) нелинейных управляемых объектов изнутри. Задача получения оценки О(х0,Т) изнутри состоит в нашей постановке в нахождении достаточных условий, при которых выполняется включение Оепй О(х0,Т) при х(1 = 0. Отметим, что множество 0(0,Т) совпадает с множеством 0(Т) для управляемого объекта х = -/(х,и). Проблеме вычисления С(Т) посвящено много работ. Отметим, например, теорему о достаточных условиях нуль - управляемости из [12].В силу сказанного наши результаты представляют интерес и для теории нуль - управляемости.
Оценки изнутри множеств достижимости получены в диссертации с помощью теорем о накрытии (накрывании) нелинейным отображением. Интересные теоремы о накрытии содержится, в работах [1], [2], [7], [14].

с1 = тах{0, <7} при с1 е Я1, к
При |^| = 1 величины а = у/1+—1/г2,Ь = ц/1а>1 удовлетворяют неравенству а2 + Ь2 >0. Формулу (1.4.29) можно переписать в виде

т f * О ■у £
C(M,y/)=q f —* [nsin®! r+bcos^ rdr.

Очевидно, что существует такой угол
<р(у/) = —= а- sin <р(у/) - -j=JL=. Следовательно
С(М,y/)=-Ja2 + b1 q [ [sin(o)xr + dr. (1.4.30)

Из (1.4.30) следует, что при 71 > —, С/ = [(>, 0, для произвольного

у/ Ф 0 С(М ,у/)> 0. С помощью выпуклого анализа (см. например, [4]) от-

сюда получаем, что при Т > — 0 е int М и что радиус г0 максимального

шара с центром в 0 , содержащегося в М, определяется формулой
го =qmm

^1+^1 + (vi&i У [sin{щг+qy(y/))f dr

Применяя теорему 1.2. и неравенство (1.4.27), можно утверждать, что

при Т>—