Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля

• Автор: Касаткин, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля. Группы преобразований

§1 Основные сведения о производных дробного порядка

§2 Преобразования операторов дробного интегро-дифференцирования

при заменах переменных

§3 Операторы, допускаемые уравнениями с производными дробного

порядка

2 Симметрийные свойства дифференциальных уравнений с производными дробного порядка

§4 Уравнения вида = /(ж, у)

§4.1 Преобразования эквивалентности

§4.2 Результаты классификации
§4.3 Алгебраический подход к классификации
§4.4 Использование симметрий для построения решений
§5 Уравнения вида И“+1у = <р(х, у, Оау)
§5.1 Преобразования эквивалентности
§5.2 Результаты классификации
§5.2.1 Случай у? = /(ж, у)
§5.2.2 Случай функции (р, зависящей от Оау
§5.2.3 Случай = /(х)Оау + д(х, у)
§6 Уравнения вида 0£>£у(ж) + 7 • хБ^у{х) = /(ж, у)

3 Симметрийные свойства систем уравнений с производными дробного порядка
§7 Преобразования эквивалентности и вид допускаемых операторов
§8 Классификация систем уравнений с использованием алгебраического подхода
§8.1 Построение оптимальной системы подалгебр
§8.2 Результаты классификации
4 Схема построения решений уравнений с производными дробного порядка методом инвариантных подпространств
§9 Метод инвариантных подпространств
§10 Применение метода к уравнениям с дробной производной
Заключение
Литература

Введение
В последние годы аппарат дробного интегро-дифференцирования всё более интенсивно используется при построении математических моделей различных процессов. Уравнения с производными дробного порядка используются для описания различных физических эффектов в реальных средах.
Например, существуют модели, описывающие процессы диффузии и распространения волн в средах с памятью или с фрактальной геометрией, модели деформации вязко-упругого материала и т. д. (см., например, работы [58], [49], [18], [24], [17]). Также уравнения с производными дробного порядка тесно связаны со стохастическими моделями [25], [26] (в том числе, с некоторыми моделями случайного блуждания в непрерывном времени [51]). Дробное интегро-дифференцирование используется также для решения прикладных задач автоматического управления [57].
Тем не менее, методы аналитического решения дифференциальных уравнений с производными дробного порядка всё ещё недостаточно разработаны.
Большинство существующих подходов позволяет получать аналитические решения лишь для определённого класса линейных уравнений и некоторых нелинейных уравнений с дробными производными. В простейших случаях решение удаётся построить методом последовательных приближений после сведения уравнения к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра (см., например, [23], [47]). Для поиска решений линейных уравнений часто используются интегральные преобразования Лапласа и Меллина (их применение описано, например, в книгах [52], [47] и многочисленных статьях), а также другие интегральные преобразования [22].
Для нелинейных уравнений с производными дробного порядка развиты некоторые методы построения приближенных аналитических решений. В некоторых случаях решение может быть построено в виде ряда, но, как правило,

Глава 2 Симметрийные свойства дифференциальных уравнений с производными дробного порядка
§4 Уравнения вида = /(ж, у)
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
Щ(У) = /0е, У), 0 < а < 1, х > 0. (4.1)
с дробной производной Римана-Лиувилля.
§4.1 Преобразования эквивалентности
Первым шагом алгоритма групповой классификации [19] является поиск преобразований эквивалентности рассмотренного класса уравнений.
Группа преобразований (2.7) задаёт преобразования эквивалентности уравнения (4.1), если в новых переменных уравнение может быть записано в том же виде:
Щ(у) = Кх,у).
В отличие от допускаемых преобразований, произвольный элемент (функция /) также изменяется группой преобразований.
Как и при построении допускаемых операторов, при поиске преобразований эквивалентности можно использовать инфинитезимальный подход. А имен-