Экстремали с бесконечным числом переключений в окрестности особых экстремалей высоких порядков

• Автор: Борисов, Владимир Федорович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 163 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Общность положения и коразмерность феномена Фуллера
1.1. Гамильтоновы системы с разрывом на гиперповерхности
1.2. Особенности малых коразмерностей
1.3. Полуканоническая форма гамильтоновой системы в окрестности фулле-ровской точки
1.4. Автомодельные решения
1.5. Коразмерность многообразия фуллеровских точек
1.6. Отображение последования поверхности разрыва
1.7. Возмущенная система
Глава 2. Расслоения с двумерными слоями, состоящими из chattering траекторий
2.1. Полуканоничеекая форма систем с тангенциальным разрывом в окрестности особой траектории порядка q
2.2. О числе предельных циклов фактор-системы уравнения
2/(2") = (-1)™+! Sgn у
2.3. Вывод уравнений автомодельных решений
2.4. Свойства автомодельных траекторий
2.5. Функции T>k{v) и конечные разности
2.6. Системы нулей производных функции /о(х)
2.7. Система нулей конечных разностей Akfo{x,h)
2.8. Расслоения с двумерными слоями. Постановка задачи
2.9. Невозмущенная задача. Автомодельные решения
2.10. Отображение последования. Гладкая зависимость автомодельных решений от параметра /?

2.11. Разрешение особенности отображения последования
Глава 3. Траектории с бесконечным числом переключений в окрестности особых экстремалей третьего порядка
3.1. Задачи с линейными связями
3.2. Задачи с симметрией
3.3. Оптимальный синтез в трехмерной задаче Фуллера
3.4. Расслоения с трехмерными слоями для возмущенной канонической системы
3.5. Устойчивое и неустойчивое расслоения в канонической системе
Литература
Введение
Актуальность темы. Предметом исследования диссертации являются системы уравнений принципа максимума Л. С. Понтрягина и такие их особенности как точки накопления переключений управления. Вопрос о структуре множества точек переключений является одним из центральных вопросов математической теории оптимального управления. Много усилий было затрачено на выяснение условий, которые гарантировали бы, что число переключений управления конечно на любом конечном интервале времени (Р. В. Гамкрелидзе, П. Бруновский, Г. Зуссман и др.) Оказалось, однако, что такого рода условия могут быть получены лишь для ограниченного класса задач (скажем, для некоторого класса линейно-квадратичных задач управления, или для задач оптимального по быстродействию управления афинно-порожденными системами на многообразиях размерности не больше трех). В начале 90-х И. Купка доказал, что у гамильтоновой системы размерности > 8, правая часть которой претерпевает разрыв в точках регулярной гиперповерхности, неустранимой особенностью является наличие траекторий со счетным числом переключений на конечном интервале времени (траекторий с учащающимися переключениями). Таким образом, наличие учащающихся переключений является типичным для задач большой размерности.
Очевидно, что для нахождения траекторий с учащающимися переключениями не применима традиционная процедура интегрирования системы в попятном времени от цели. В связи с этим весьма актуальным является получение необходимых и достаточных условий существования траекторий с учащающимися переключениями, исследование их геометрической структуры, получение необходимых и достаточных условий оптимальности экстремалей с накоплением переключений. Специальным вопросом, связанным с существованием участков экстремалей с учащающимися переключениями являются условия их возможной стыковки (сопряжения) с участками особого управления.
Часть этих вопросов была решена в серии совместных работ М. И. Зеликина и В. Ф. Борисова, а также, независимо, в работах И. Куики. Отметим, что для интегрирования разрывных гамильтоновых систем в окрестности точек накопления переключений управления пришлось адаптировать и обобщить методы разрешения особенностей дифференцируемых отображений в вырожденных неподвижных точках, а также многие классические методы геометрической теории дифференциальных уравнений. Ниже, в историческом обзоре, о соответствующих результатах будет сказано подробнее. Работы М. И. Зеликина -В. Ф. Борисова и И. Купки по теории режимов с учащающимися переключениями открыли самостоятельное и перспективноес точки зрения автора данной

1.2. Особенности малых коразмерностей

Рисунок 1.3.
Параметризуем точки поверхности N значениями координаты и (2п — 2) (-функциями у(ф,х) = (г>1 (чД, аг)

Г>(гьг2,н)
Ю(ф,х)
— 2 п.
(Фо, Жо)
Сопоставим произвольной точке (ф,х) в окрестности точки (фо,Хо) точку (ф*, х*) 6 ЛГ, принадлежащую траектории системы (1.1), проходящей через (ф, х). Поскольку траектории системы (1.1) трансверсально пересекают поверхность Б в точках 55ь уменьшая, если потребуется Ы, из теоремы о гладкой зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных получим, что отображение
ф: (ф,х) {г'ъг'2,у'), г[=г1(ф,х), г'2 = г2(ф,х), у' = у(ф*,х*),
взаимно-однозначно и обладает требуемыми свойствами гладкости (в частности, ф класса С° в 1Л и класса С1 в /(5и 2)).
Прямое дифференцирование в силу системы (1.1) дает:
А = г2,
2І2=ии)1{г'1,2!2,у') + 23(Ф1,г,2,уІ), Vі = 0 (гi = sgn2). (1.6)
Нормируем время движения по траектории системы (1.6) так, чтобы свести (1.6) к (1.5). Делая замену времени движения по траекториям (1.6) вида
СІ . , ! /. СІ
с некоторой функцией а(г[, г'2, у') ф 0, перепишем (1.6) в виде