Об одном методе исследования уравнения Хилла

• Автор: Карасаев, Ишен Карасаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Бишкек
• Количество страниц: 109 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Исследование уравнения Хилла методом поляризации
1.1 Обзор исследований уравнения Хилла
1.20 разрешимости уравнения Хилла в критическом случае
1 .Преобразование характеристического уравнения
к каноническому виду
Г лава II. Характеристические показатели Ляпунова и их интервалы
изменения
2. Расположение на комплексной плоскости корней промежуточного
(характеристического) уравнения
2.2Характеристические показатели Ляпунова и интервалы их
изменения
2.3Построение фундаментальной системы решений уравнения
Хилла
Примеры применения
Заключение
Список использованных источников
Приложение

ВВЕДЕНИЕ
Уравнение вида
d2x ,
——то(Лх = 0, dt2 ' ’
(0.1)
где a(i) непрерывная периодическая функция, в математике принято называть уравнением Хилла. Оно в следующем частном виде:
где а0 0,а,,а

сходится, встречается в мемуарах Хилла, опубликованных в 1877 году, посвященных исследованию движения Луны. Уравнение (0.1) в следующем виде
было рассмотрено Матье еще в 1868 году в связи с изучением колебаний эллиптической мембраны. Со времен Хилла и Матье уравнение (0.1) в том или ином частном виде исследовались многими авторами (X. Кох, Н. Е. Кочин, А. Пуанкаре, Г. В. Бондаренко, А. П. Проскуряков, В. Ф. Журавлев, К. Г. Валеев, В. В. Болотин и др.) в связи с решением физических, технических и астрономических задач. Поскольку эти задачи были прикладного характера и в связи с отсутствием теоретически разработанного метода решения уравнения Хилла, авторы ограничивались построением приближенных решений, которые в том или ином смысле удовлетворяли потребности практики. Например, Хилл для решения астрономической задачи ограничивался использованием значения определителя лишь третьего порядка, составленного из центральных строк и столбцов бесконечномерного определителя.
Согласно теории Флоке решение уравнения (0.1) имеет вид:

x{t) = ef‘'ty/P,> (°-2)

где f.i - характеристический показатель, а вектор
определяется как решение бесконечномерной системы линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет решение лишь в том случае, когда некоторый бесконечномерный определитель, зависящий от /г, равен нулю. Это обстоятельство (например, вопросы существования бесконечномерного определителя, вычисление его значения и т.д.) вносит свои коррективы при разработке методики построения фундаментальной системы решений уравнения Хилла. В этом направлении, несмотря на то, что теория линейных дифференциальных уравнений достаточно развита, на сегодняшний день почти отсутствует теоретически разработанный метод решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Что касается уравнения Хилла (0.1), то для случая, когда среднее значение а0 коэффициента a(t) не равно нулю, достигнуты определенные успехи. Обзор литературы показал, что со времен Хилла исследования уравнения (0.1) проводились только при условии а0 х 0, и полученные результаты теряют смысл при а0 - 0. Поэтому случай а0 ~ 0 условно назовем критическим.
Поскольку уравнение Хилла часто встречается в прикладных задачах, а также ряд важных уравнений, после выполнения некоторых преобразований, приводятся к уравнению Хилла, то полное исследование уравнения Хилла в критическом случае (построение характеристического уравнения и вопросы его разрешимости, разработка алгоритма построения фундаментальной системы решений, поведение фазовых траекторий и др.) является одной из актуальных задач теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

В силу условия (1.2.9) для любого д имеет место соотношение
$mn:i(ak -д)*0, sinniak 0. (1.3.10)
Используя представления
е2щ, _ g2ю,
sin ni (а, - и)
v * ’ Ъе’меш>
е~т„
sin 7па,. =

равенство (1.3.9) перепишем в виде
дМ-М/0. (1.3.11)

P(z) =(z-Д)(z-Д) * 0, Z = Д = егксР? - е2”“'- (1.3.12)
Условие /’(z)O выполняется в силу (1.2.9). Теперь преобразуем функцию
Д. = (-“)
Лемма 1.3Л. Для функции А,(д) имеет место разложение
А, (д) = l-i rx{ax)ctgni(а, -д) + r2{a7)ctgni (а, - д) (1.3.13)

г,(а,) = ——(«i),r,(a2)- ——Л(«7), (1.3.14)
ах-а2 “ а2-аг
Я (- бесконечный определитель удовлетворяющий соотношению
Л.И = -Д-Я(д)3 (1.3.15)

т е. имеет место разложение по котангенсам.
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию Щ) = А,(§)с!£гн(£~ д), где /I- параметр. Функция !//(§) обладает следующими свойствами:
1) Функция у/(£) является периодической функцией с минимальным периодом т.е.
у/(£ + /ж) = у/((;), VmeN . (1.3.16)