Краевые задачи и задачи оптимизации движения вязкого газа

• Автор: Лукина, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 106 с.

Оглавление
Введение
Основные обозначения
Г л а в а I. Задачи оптимального управления течениями вязкого газа для плоских волн
§ 1 Постановки задач
§ 2 Оптимальное управление
§ 3 Вспомогательные результаты
§ 4 Дифференциальные свойства отображения
V —» (и(т);р(и)} для Задачи I
§ 5 Необходимые условия оптимальности экстремальной задачи (2.6)
§ 6 Достаточные условия оптимальности экстремальной задачи (2.6)
§ 7 Дифференциальные свойства отображения
V —» {и(у); р(м)} в задаче со свободной границей
§ 8 Необходимые условия оптимальности для задачи (2.14)
§ 9 Достаточные условия оптимальности экстремальной задачи (2.14)
Г л а в а II. Задача оптимального стартового управления
§ 1 Постановка задачи
§ 2 Разрешимость начально-краевой задачи
§ 3 Оптимальное стартовое управление
§ 4 Исследование свойств отображения
Ф -» (и(Ф;р(Ф)}
§ 5 Необходимые условия оптимальности
§ 6 Единственность
Глава III. Глобальные решения многомерных приближенных уравнений Навье-Стокса
§ 1 Постановка задачи
§ 2 Априорные оценки
§ 3 Оптимальное стартовое управление

Введение
Целью диссертации является изучение задач оптимального управления для нестационарных течений вязкого газа. В работе исследуется корректность краевых задач для модельной системы динамики газа. Рассматриваются следующие вопросы.
1). Разрешимость задач оптимального управления движением вязкого газа. Вывод необходимых условий оптимальности.
2). Изучение структуры множества оптимальных управлений.
3). Разрешимость начально-краевах задач для модельной системы уравнений Навье-Стокса в многомерном случае.
Краткий обзор предыдущих исследований
Многие задачи физики и инженерной практики при математической формализации приводят к нелинейным уравнениям с частными производными.
Уравнения Навье-Стокса — это основная модель динамики сжимаемой среды . Большой интерес в последние годы вызывает система уравнений Навье-Стокса для вязкого газа, которая в случае баротропного движения имеет следующий вид [27],
Неизвестные функции р, ц и Р соответствуют плотности газа (р > 0) его скорости и давлению; /и и А — постоянные коэффициенты динамической и объемной вязкости, р > 0, ЗА + 2р У 0.
Проблема существования глобальных решений многомерных уравнений Навье-Стокса до последнего времени оставалась открытой и привлекала внимание многих специалистов, работающих в данной области.
Начало изучению вопросов математической корректности краевых задач для модели Навье-Стокса вязкого теплопроводного газа положили работы Серрина [86], Нэша [84]. В 1959 г. Дж. Серрином [86] были сформулированны постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. В частности, были рассмотрены следующие варианты граничных задач для системы (1). Пусть движение среды происходит в ограниченной области Г2 пространства Я3, граница которой ЭП является непроницаемой твердой стенкой. Тогда на дП выполняются условия прилипания, т.е.
[38]:
у О Ч
р(+ (и ■ V)uJ = рДи + (ц + А)У(сИу и) - УР,
+ сйу (ир) = 0,
Р = с2ру, 7 > 1, с > 0.

Другая возможность — на границе дСі задается вектор напряжения Рп,
Рпівп = ~{Р+ ^цДуи)п + 2ц(£>-п)|ап = Н,

где -О — тензор скоростей деформаций с компонентами
Такие граничные условия возникают, например, в задачах со свободными границами, при этом для определения самой границы д£1 применяется так называемое кинематическое условие
которое означает, что материальная частица, находящаяся на свободной границе, может перемещаться только вдоль нее.
Первая теорема существования для уравнений Навье-Стокса сжимаемого вязкого газа была получена Дж. Нэшем [84] в 1962 г. Им было доказано существование классического решения для задачи Коши, когда П = Д3, в малом по времени. Результат Нэша [84] был затем повторен и обобщен с применением других методов в работах японского математика Н. Итая [75], а также А.И. Вольперта и С.И. Худяева [12]. Для смешанных задач разрешимость в малом по времени в случае баротропного газа доказана В.А. Солонниковым [41], а в случае теплопроводного газа — А. Тани [90]. Существование решений в целом по времени для общей модели установлено только при дополнительных условиях: А. Мацумура и Т. Нишида [83] доказали, что задача Коши разрешима на любом промежутке времени, если данные задачи близки к состоянию покоя. Поведение решений уравнений Навье-Стокса «в целом» по времени исчерпывающе изучено только в случае одномерного движения с плоскими волнами. Наиболее полно об этом изложено в [4].
Важное значение для принципиального понимания ситуации имеет работа [8], в которой построены примеры разрушающихся за конечное время решений уравнений Навье-Стокса.
В настоящее время ведутся активные поиски новых подходов к проблеме корректности «в целом» для уравнений Навье-Стокса в многомерном случае на примерах более простых гидродинамических моделей. Некоторые новые идеи и исследования в этой трудной проблеме представлены в работах [9, 10, 32, 80, 81, 85]. Среди различных вариантов упрощения уравнения Навье-Стокса наиболее известными являются, во-первых, квазистационарная модель
0П = {(®,*) :£(м) = 0}, Ц + (и-У)£|*1 = 0,
цДи+ (ц + А)У(с1Аи) — УР = 0,
^ + сііу (ир) = 0, Р = с2ру, 7 > 1, с > 0.

Учитывая (5.24), найдем
]-DJa{v;u,p)(ip) = [ p(x)^{x,0)dx + a f (vx(x) - udx(x))p0{x)ipx(x)dx. z Ja J n
В силу необходимого условия оптимальности управления v, DJ(v)(ip) >0 У cp 6 Uad. С учетом того, что
/ {vx(x) - udx(x))p0{x)px(x)dx = - / [К(х) - Udx{x))po(x)]xtp(x)dx,
J Cl J Cl
приходим к (5.33). Теорема доказана.
Замечание 5.2 Вариационное неравенство (5.33) вместе с условиями (5.31), (5.32) является необходимым условием оптимальности для элемента v € U.
ТЕОРЕМА 5.3 Множество U является слабо замкнутым и компактным в
Доказательство. Покажем, что любая точка пространства Н] (Q), являющаяся слабым пределом последовательности элементов из U, принадлежит U. Пусть {г>„}

vn —> V слабо в Щ (12).
Нетрудно проверить, что у S U. Действительно, в силу слабой полунепрерывности снизу функционала имеем
Ja(v; и, р) < lim Jn(v„ ип, рп) = inf Ja(v и, р).
72.—2-00 V£U
Отсюда следует слабая замкнутость множества U. Для доказательства компактности рассмотрим слабо сходящуюся последовательность Тогда
гДе Со* — £*(2,0). В первом неравенстве положим ад = уп, а во втором ад = ито. Складывая полученные неравенства, будем иметь
(^тх ^пх^)хРох 4“ “(Сот Соп)^ (вщ 'Оп)б!Х ^ 0.
Отсюда, после интегрирования по частям, следует, что
[ Ро(Ут Цп)х — [ (Соп Сот){Ут Уп^Х.
Jп а Ja
Учитывая, что 0 < то < ро, получаем
то 11 лт ~ 11 Сот Соп |||| лт уп 11. (5.35)
В силу (5.21), ||Сот—Соп|| равномерно ограничена по т, п, аиз компактности вложения пространства Нц(0,) в Т2(П) следует утверждение теоремы.