Точные решения уравнений газовой динамики, порожденные проективной симметрией

• Автор: Павленко, Андрей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 108 с.

1 СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА

1.1 Предварительные сведения. Программа ПОДМОДЕЛИ

1.2 Оптимальная система подалгебр 0£,д

1.3 Инвариантные решения ранга нуль

1.4 Физическая интерпретация нестационарных подмоделей

2 ПОДМОДЕЛИ УРАВНЕНИЙ ИЗОБАРИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА

2.1 Постановка задачи

2.2 Внутренние автоморфизмы

* 2.3 Оптимальная система одномерных подалгебр О1#^

2.4 Оптимальная система одномерных подалгебр 0^20

2.5 Оптимальная система двумерных подалгебр ©2д1.

2.6 Подмодели ранга
3 ПРОЕКТИВНАЯ ПОДМОДЕЛЬ ВИХРЯ ОВСЯННИКОВА
3.1 Уравнения вихря Овсянникова
3.2 Групповая классификация уравнений ВО
3.3 Проективная подмодель
3.4 Свойства решений ключевого уравнения
* 3.5 Движение газа
3.6 Ударная волна
Заключение
Приложение

Многим математическим моделям присущи свойства симметрии, определяемые фактом независимости заложенных в модель законов природы от систем отсчета. Эти свойства симметрии выражаются в инвариантности дифференциальных уравнений модели относительно некоторых преобразований пространства основных величин, образующих группу Ли. Исследования свойств дифференциальных уравнений па основе теоретико-группового подхода, начатые Софусом Ли в XIX веке, были положены в основу группового анализа дифференциальных уравнений [1]— эффективного математического аппарата для изучения широких классов точных решений уравнений механики и физики [2, 3].
Выдвинутая академиком Л.В. Овсянниковым научно-исследовательская программа ПОДМОДЕЛИ [4] содержит концепцию систематического исследования моделей механики сплошных сред методами группового анализа [1]. В этой программе поставлена задача об исчерпании всех возможностей точного упрощения моделей за счёт наиболее полного использования заложенных в них свойств симметрии. Такое упрощение достигается переходом к подмоделям, описывающим классы точных решений, приводящим к понижению размерности задач и делающим более доступным их анализ. Реализация программы ПОДМОДЕЛИ подразумевает не только получение точных решений, но также их «одевание» — физическую интерпретацию полученных решений, выявление их особенностей, построение разрывных решений, постановка и решение новых конкретных задач. Для уравнений газовой динамики (УГД) программа ПОДМОДЕЛИ успешно реализуется в лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.
Подмодель выделяется из уравнений! модели добавлением к ним дополнительных соотношений на инварианты подгруппы. Факторсистема подмодели получается редукцией уравнений модели для инвариантных величин подгруппы, в результате понижается размерность уравнений и упрощается их интегрирование. Выделяется несколько типов подмоделей. В инвариантной подмодели (ИП) все искомые функции выражаются через инварианты, и факторсистема связывает инвариантные переменные, инвариантные функции и их производные. Число инвариантных функций в ИП совпадает с числом функций в исходной системе, а число переменных (ранг ИП) умешивается. Частично инвариантные подмодели (ЧИП) являются обобщением ИП. В случае ЧИП не хватает инвариантов для выражения через них всех искомых функций. Потому часть искомых функций (называемых “лишними” функциями) нужно положить зависящими от всех переменных. Число лишних функций называется дефектом ЧИП. Факторсистема ЧИП распадается на инвариантную и переопределенную системы на лишние функции. Последняя требует приведения в инволюцию и вместе с условиями совместности образует пассивную подсистему. Соответственно типу подмодели, её решения называются инвариантными или частично инвариантными решениями.
При решении многих задач газовой динамики большую роль играют точные решения [5, 0]. Классическими примерами могут служить волны Римана в одномерных движениях газа или двумерные течения Прандтля-Майера. Автомодельное решение было использовано Л.И. Седовым [7]

2.5 Оптимальная система двумерных подалгебр 02 Построение оптимальном системы двумерных подалгебр алгебры Ли §1.і сведено к построению при помощи алгоритма [31] оптимальной системы одномерных подалгебр алгебр Ли (г = 1, • • •, 13) размерностей меньших, чем размерность алгебры йі.і . Приводится оптимальная система двумерных абелевых подалгебр 02^Ц и описывается алгоритм построения оптимальной системы двумерных иеабелевых подалгебр 02'^1.і алгебры Ли gl.l
Неабелены подалгебры. Базис двумерной подалгебры алгебры дії задастся двумя матрицами из дЦ. Для неабелевой подалгебры {У, У} всегда можно выбрать такой базис, У, У Є діц, что [У, У] = У. За счёт использования автоморфизмов (2.10) можно считать, что У Є В1 дії, т.е. У = У для некоторого г Є {1 13}.
Стабилизатором У(Л;) матрицы У, в дЦ является автоморфизм (2.10) с матрицей Аі Є СЬ,, удовлетворяющей Л,; У = У А,. Преобразования У (Л,) переводят подалгебру {У, У} в {У,ЛАУЛД. Также для упрощения У можно использовать сохраняющее коммутатор [У, У] = у ирс-обраювание базиса {У, У} —> {У, У + сгУД. Поэтому построение ©2"/Ді сводится к разбиению для каждого У, г Є {1 13} на классы экви-валентности множества {У Є дії : [У, У] = У} относительно действия преобразованиі'і
У —> У' = Д(Л,)(У + (ТУ) = Л^УЛ; + о-у. (2.12)
Если У и Л* имеют одинаковый блочно-диагональный вид, то упрощение У преобразованиями (2.12) не вызывает трудностей!. Однако, если Л; имеет более сложную структуру, то выражение ЛД УЛ,-|-<тУ становнт-