О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений с сосредоточенными и распределенными запаздываниями в гильбертовом пространстве

• Автор: Оруджев, Мурад Идрисович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 87 с.

Содержание
Введение
Основные обозначения и определения
Некоторые сведения из теории функций и функционального
анализа
Краткое содержание
ГЛАВА 1. Случай уравнения с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента
1.1. Теорема о непрерывной обратимости оператора Ьр
1.2. Случай маловозмущенного оператора Ьро
ГЛАВА 2. О нормальной разрешимости уравнения
2.1.Теоремы о конечномерности ядра и коядра оператора Гр0
2.2.Теорема о фредгольмовости оператора Гро
2.3 .Примеры иллюстрации абстрактной теории
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Главная задача науки - это описание и предсказание. Во многих важных случаях удобно задавать состояние системы в данный момент времени г при помощи конечномерного вектора х(?). Таким образом, мы придем к дифференциальному уравнению

— =
Несмотря на весьма удовлетворительное состояние теории дифференциальных уравнений, возникает необходимость в изучении более сложных уравнений. Нужно принять во внимание тот факт, что скорость изменения в физических системах зависит не только от их состояния в настоящий момент времени, но и от их предыстории. Так возникла теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, принадлежащая к числу сравнительно молодых и бурно развивающихся разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием имеют много приложений в теориях автоматического управления и колебательных систем, при изучении ряда экономических задач, биофизических проблем и во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно расширяется.
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе еще в XVIII в. в связи с решением задачи Эйлера о розыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Однако еще до совсем недавнего времени не были сформулированы основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в литературе не было даже четкой постановки начальной задачи. Это впервые сделано в диссертации А.Д.Мышкиса "Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргумен-том"(1949-1950).

Изучением скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, кроме А.Д.Мышкиса [16], занимались С.Б.Норкин [18], Л.Э.Эльсгольц [18], Р.Беллман, К.Кук [4], Н.В.Азбелев, А.М.Зверкин, Г.А.Каменский, В.Хан и др.
Для линейных дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием оказываются весьма эффективными операционные методы (преобразование Лапласа) и метод шагов. Именно эффективность применения этих методов привела к тому, что линейные уравнения с постоянными коэффициентами и постоянными запаздываниями особенно часто встречаются в прикладных работах.
Следующим этапом в развитии теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стали исследования по операторнодифференциальным уравнениям вида
х' (t) = A(t)x(t), (1)
где A(t)— переменный неограниченный оператор.
Операторному уравнению
Ди(0-Д*ЖО = о,А-~ (2)
i dt
в случае, когда iA(t) - производящий оператор полугруппы или ограниченный оператор, посвящены многочисленные работы [8], [14], [29].
Без этих предположений уравнение (2) с постоянным оператором изучено в работе Ш.Агмона и Л.Ниренберга [32]. В частности в этой статье выведены асимптотические функции для решения экспоненциального типа.
Эти результаты были распространены на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые А.Пази [36].
При условии, что оператор A(t) стремится при г -» оо в некотором слабом смысле к постоянному оператору А И.А.Евграфовым [9] была получена асимптотика при t-> оо решения уравнения (2)

Отсюда следует, что j|e<“M,i(0|l2(R V) ->00 при п -» ьо. С другой стороны,
Таким образом, пришли к противоречию с неравенством (1.1.3).
Совершенно аналогично доказывается справедливость и равенства
= М ~* °°> = а
Для случая /0 = -да теорема доказана.
Рассмотрим случай > -оо. Достаточность. Рассматриваемая задача имеет вид
На V прямой Im А = < а выполняются условия теоремы, и в силу дока-
занной первой части теоремы существует единственное решение «(О е X1/, а, < а, уравнения Lpu(t) = /(О V/(/) е Y°-“,
причем выполняется неравенство IlKOfr г||/(ОЦд“1
Поэтому остается показать справедливость равенства u(t) = 0, t < t0.
Lpu(t) = f(t), t>t0,
u(f) = g(t) , t Начальное условие можно сделать однородным введением функции v(t) = u(t) - g(t).
Имеем
= /(0 - LPg(‘) = Л (0
Итак, рассмотрим задачу
Lpu(t) = f(t),t> t0, u(t) = 0,t Имеем
Отбросим второе слагаемое в интеграле, отчего неравенство не будет противоречивым
Можно положить «, < 0.
Оо )