Пространственно-временной хаос в распределенных динамических системах

• Автор: Дернов, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 124 с. : ил.

1 Бифуркации в распределенных динамических системах

1.1 Некоторые общие сведения из теории бифуркаций

1.2 Бифуркации положения равновесия конечной размерности в модели брюсселятора

1.3 Бесконечномерно-вырожденные бифуркации положения равновесия в экономической модели Магницкого

1.4 Бифуркации рождения пространственно - неоднородных циклов

1.5 Бифуркации рождения торов

1.6 Выводы

2 Хаотическая динамика в распределенных системах

2.1 Методы диагностики пространственно - временного хаоса . .

2.2 Переход к хаосу в модели брюсселятора

2.3 Переход к хаосу в уравнении Курамото-Цузуки

2.4 Переход к хаосу в распределенной экономической системе с
недиагональной матрицей диффузии
2.5 Выводы
3 Распределенная модель рыночной экономики Магницкого
3.1 Общее описание задачи
3.2 Распределенная модель рыночной экономики
3.3 Пространственно-однородные циклы и недиффузионный хаос
3.4 Волновые эффекты в распределенной системе
3.5 Некоторые аспекты практического применения модели
3.6 Выводы

Список литературы

Пространственно - временной хаос - явление, чрезвычайно распространенное в природе. Наиболее очевидными примерами являются непредсказуемо изменяющиеся водовороты в реках, дым от костра, погода. Хаос также присутствует в химических реакциях, динамике популяций, социально-экономических процессах. Если математическая модель природного процесса представляет собой нелинейную динамическую систему, то явлению хаоса может отвечать сложное пространственно-временное поведение решений, чувствительное к малым изменениям параметров и начальных условий. Накопленный к настоящему моменту опыт численного моделирования показал, что многие нелинейные, системы дифференциальных уравнений имеют хаотическое поведение, причем оно не связано с ошибками вычислений. Таким образом, проблему пространственно - временного хаоса в природе представляется возможным свести к проблеме динамического хаоса в нелинейных системах уравнений в частных производных.
Динамический хаос, возникающий в распределенных нелинейных системах, уже ни один десяток лет вызывает все более нарастающий интерес. Однако, пока не существует какой-либо единой и последовательной теории его возникновения. Сейчас можно говорить лишь об отдельных подходах и результатах, полученных для распределенных динамических систем, возникающих в моделях химической кинетики, морфогенеза, экологии, социологии, экономики. С другой стороны, в связи с постоянным увеличением мощности компьютеров и быстрым развитием вычислительных
методов появляются новые возможности, дающие предпосылки для возникновения теории. Поэтому наиболее важной задачей сейчас является определение пути, по которому должно пойти развитие теории пространственно - временного хаоса.
Исторически было несколько попыток дать математическое объяснение возникновения хаоса. В 1944 году Л. Д. Ландау был предложен сценарий, который объяснял механизм возникновения турбулентности в гидродинамических уравнениях путем последовательного возбуждения все большего числа мод [24],[25]. Фазовым пространством динамической системы в данном случае является пространство скоростей движения вязкой жидкости. Параметром системы является число Рейнольдса Я, отвечающее за интенсивность внешнего воздействия, способствующего движению. Было установлено, что при малых значениях числа Я решением систещ мы является устойчивая неподвижная точка в пространстве скоростей, соответствующая стационарному течению. При достижении числом Рейнольдса критического значения Я > Я^-д в фазовом пространстве возникает предельный цикл, соответствующий периодически пульсирующему течению. Далее, при достижении следующего критического значения Я > ДСГ2 цикл становится неустойчивым и в системе возникает дополнительная частота, что приводит к возникновению в окрестности цикла устойчивого "цикла на цикле"или тора. Далее было предположено, что при дальнейшем увеличении Я в системе будут возникать все новые и новые частоты. Геометрически это означает потерю устойчивости двумерного тора и возникновению в его окрестности трехмерного тора, затем ему на смену придет четырехмерный тор и т.д., причем интервалы между бифуркационными значениями параметра быстро падают, а появляющиеся движения имеют все меньшие масштабы. Движение, получающееся в пределе, было названо турбулентным. Независимо от Ландау, подобную теорию

Параграф 1
БИФУРКАЦИИ РОЖДЕНИЯ ТОРОВ
ществует критически малая длина области, при которой в системе существует устойчивый пространственно - однородный цикл. Пространственно - однородный цикл теряет устойчивость и динамика усложняется при увеличении длины.
1.5 Бифуркации рождения торов
Для начала рассмотрим гипотетическую ситуацию, как бы качественно изменился фазовый портрет системы (1.5) .если бы в системе (1.16) при некотором п единичную окружность пересекал не действительный мультипликатор, а пара комплексно сопряженных мультипликаторов ±ш/. Ответ, возникающий интуитивно: "цикл на цикле; спираль, лежащая на двумерном экспоненциально-устойчивом тороидальном многообразии".
Действительно, в данном случае задача сводится к анализу бифуркации потери устойчивости нулевого решения в трехмерной системе с периодической матрицей. Природа данной бифуркации была исследована в [39],[4],[33]. Как показано в [33], нормальная форма данной бифуркации в окрестности цикла щ{1) периода Т имеет вид:
г>1 = (д — ь — д|)гц — о/г/2
у2 = ал/1 + (/л - ~ ъ1)п2 ч 19л
. 2/г, ,2тгч
<Р = у )
Таким образом, при переходе бифуркационного параметра д через 0 исходный цикл щ(Ь), соответствующий решению
27г 2/Т
VI(V) = 0, г;2(0 = 0, <р(Ь) = — Ь{то(1—) теряет устойчивость и одновременно возникает новое устойчивое