Ветвление решений задачи о сопряженных стратифицированных течениях

• Автор: Казаков, Алексей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 87 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Предварительные сведения
1.1 Уравнения движения стратифицированной жидкости
1.2 Формулировка уравнений в переменных Мизеса
1.3 Задача о сопряженных течениях
1.4 Конструкция Ляпунова — Шмидта
1.5 Свойства линейных операторов Штурма — Лиувилля
2 Ветвление решений задачи о сопряженных течениях
2.1 Конечномерная редукция задачи о сопряженных течениях
2.2 Необходимое условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях
2.3 Достаточное условие ветвления решений задачи о сопряженных течениях
2.4 Ветвление критических точек потенциала нелинейного оператора Штурма — Лиувилля на фиксированной поверхности уровня
3 Приложения задачи о сопряженных течениях
3.1 Интерпретация условий ветвления для двухслойных кусочно-постоянных сопряженных течений
3.2 Формулировка условий ветвления в переменных Эйлера
3.3 Комментарии к условиям существования сдвиговых течений, сопряженных с равномерным потоком
3.4 Сопряженные течения и решения типа уединенных волн для двумерных стационарных уравнений гидродинамики
Приложение
Литература

Введение
В диссертации исследуется нелинейная задача на собственные значения для одномерного уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга, возникающего в теории волн в неоднородной жидкости. Рассматриваемая задача тесно связана с проблемой аналитического описания предельных форм внутренних уединенных волн, сформулированной в работе Эмика и Тернера [25]. В этой работе с помощью топологических методов доказано существование точек разрушения соболевской Ид-нормы на глобальной ветви решений типа уединенных волн. Физически это соответствует либо неограниченному возрастанию площади между профилем волны и невозмущенным уровнем линии тока (рост Лг-нормы решения), либо появлению на профиле волны точек с вертикальной касательной (неограниченность (71-нормы). Неограниченность вовлеченной в волну массы жидкости имеет место для семейства уединенных волн столообразного вида с уплощенными вершинами, по форме напоминающими плато («table-top waves», рис. la.). Предельной формой волн этого семейства является плавный внутренний бор (рис. 16.). Анализу структуры таких решений в случае двухслойной, или близкой к ней, стратификации были посвящены исследования Эмика и Тернера [26], а также работы Мильке [54], Жаме [40, 41], в которых использовалась техника конечномерной редукции на центральное многообразие, и работы
Н. И. Макаренко [49], Ж. JI. Мальцевой [15], в которых применялся метод Ляпунова — Шмидта. Численными методами эту задачу решали Тернер и Ванден-Брок [62], Диас и Ванден-Брок [36].

(а) (б)
Рис. 1: (а) — уединенная волна типа плато, (б) — плавный внутренний бор
Уединенные волны типа плато имеют фронты, подобные плавным внутренним борам, и почти одномерные горизонтальные срединные течения, сопряженные с невозмущенным течением перед волной. Два одномерных течения стратифицированной жидкости называются сопряженными, если они являются согласованными в смысле законов сохранения массы, импульса и (или) энергии. Этот термин, сама постановка задачи об отыскании пар сопряженных течений как бифуркационной задачи для нелинейного уравнения Дюбрей-Жакотэн — Лонга, а также первые результаты о ее разрешимости принадлежат Бенджамину [30, 31]. Указанная задача может рассматриваться независимо от исходной двумерной задачи, при этом ее решения дают информацию о параметрах внутренних волн, чьи предельные амплитуды фактически и задаются параметрами сопряженных течений. Задача о сопряженных течениях относится к классу нелинейных задач Штурма — Лиувилля — задач на собственные значения для нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка.
Такие задачи возникают в нелинейной теории теплопроводности и теории упругости, теории фазовых переходов, а также при исследовании задач сегментации фотоизображений и нахождении точных констант в

Покажем, что последнее слагаемое в правой части равно нулю при любых Л, а. Соотношение (2.8), записанное в эквивалентной форме
(I - Н){Г(Ьро + Ьй(, а, 6);А,сг)} =0,
представляет собой тождество в некоторой окрестности точки (Ло, 0, 0). Дифференцируя указанное тождество по переменной 6 в точке 6 = 0, получаем

((/ - Н)(Р(Ь(ро + Ьй(А, СГ, 6); Л, а

(А,сг,0)
= 0.
(А,<7,0)
= (I ~ Н)(А(, а)(<р0 + й))
Последнее равенство означает, что Л(А, а)(о + й(Х,а, 0)) € кег(/ — Н), т. е. П(А,сг)( параметров А, ст. Отсюда, поскольку й е кеДТДк), получаем

J йА{А, а){(ро + й){Ха0)йф = с(А, а) J йір0{х0)(1ф = о о
(здесь учтено, что разложение пространства Е в прямую сумму подпространств порождено проектором Н, ортогональным относительно скалярного произведения 1/2[0, !]) Следовательно, для любых значений параметров А, а в некоторой окрестности точки (Ао, 0) выполнено соотношение
/(А, сг, 0) = І /(А, сг,0). (2.19)
Поскольку при 6 = 0 уравнения (2.16) оказались линейно зависимыми, для завершения доказательства остается показать, что существует гладкая функция А(сг), обращающая уравнение /(А, а, 0) = 0 в тождество. Для этого используем теорему о неявной функции. В силу соотношения (2.18)