Разрешимость некоторых классов вырождающихся дифференциальных уравнений и их спектральные характеристики

• Автор: Малютина, Оксана Петровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
Г лава I Начально-краевая задача для
вырождающегося параболического уравнения
1.1 Постановка задачи
1.2 Преобразование Оа р. Изоморфизм преобразования С!а р.
Весовая производная
1.3. Основные функциональные пространства, используемые
в главе I
1.4. Редукция задачи. Теорема разрешимости
Глава II Эллиптическая задача с
вырождением в полуцилиндре..:
2.1 Основные предположения. Постановка задачи
2.2 Сведение канонической задачи к интегральному уравнению
2.3 Построение решения в окрестности внутренней точки области В при а =
2.4 Построение решения в окрестности граничной точки области В при а =
2.5 Разрешимость задачи (2.1)-(2.2) в В х (0,°о)
2.6 Спектральные свойства оператора, порождённого
задачей (1.1)-(1.2) в Вх(0,оо)
Литература

Актуальность темы. Основы теории разрешимости для вырождающихся дифференциальных уравнений были заложены в фундаментальных работах М.В.Келдыша [37], Ф.Трикоми [75], С.Г.Михлина [58], А.Б.Бицадзе [7], О.А.Олейник, Т.В.Вентцель [65]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах А.М.Илыша,
A.С.Калашникова, О.А.Олейник [32] М.И.Вишика, В.В.Грушина [9],
B.П.Глушко [12]—[19], Дж. Дж. Кона и Ниренберга [41], [42]. Подробная библиография работ указанного цикла имеется в обзорах О.А.Олейник [64], Е.В.Радкевич [66], В.П.Глушко [19], в монографиях М.М.Смирнова [70], С.А.Терсенова [72].
При изучении вырождающихся уравнений потребовалось ввести специальные классы пространств функций с весовыми производными. Различные свойства весовых пространств функций, теоремы вложения и др. устанавливались в работах Л.Д.Кудрявцева [44], Л.Н.Слободецкого[69],
C.В. Успенского [76], И.А. Киприянова [39], И.А. Киприянова и Б.МБогачёва [40], А. Куфнера [45], [46], А.С. Фохта [77]. Весовые пространства типа Соболева-Слободецкого при р =
рассматривались В.П.Глушко и С.Я. Львиным [24], В.П. Глушко и М.И. Богатовым [22], В.П. Глушко и М.С. Бичегкуевым [5], [6]. Случай произвольного р > 1 изучался в работах П.И. Лизоркина , М. Отелбаева [49], В.П. Глушко [20].
Интерес к изучению спектральных свойств вырождающихся дифференциальных операторов в настоящее время высок. Однако они мало изучены, особенно в несамосопряжённом случае. Основным препятствием здесь является то обстоятельство, что резольвента соответствующей вырождающейся задачи, даже в тех случаях, когда она существует, не является, вообще говоря, вполне непрерывным оператором. Вместе с тем, в некоторых ситуациях возможно гарантировать полную непрерывность резольвенты в стандартных пространствах Lp,C и других.
Один из таких случаев был изучен в работе В. П. Глушко и Хоанг Хиен Шиня [29].
Фундаментальную роль в этом направлении играет теория несамосопряжённых дифференциальных операторов с дискретным спектром, созданная академиком М. В. Келдышем [38]. Им впервые изучены признаки полноты системы корневых векторов

несамосопряжённого оператора в абстрактном гильбертовом пространстве. Работа Келдыша и последовавшая за ней работа В. Б. Лидского [48] послужили отправным моментом для многих исследований по спектральной теории и для широкого класса несамосопряжённых операторов с дискретным спектром (в частности, для дифференциальных операторов, как обыкновенных, так и в частных производных).
Для общей эллиптической задачи С. Агмоном [1] был получен ряд теорем о полноте системы корневых функций в некоторых функциональных пространствах, а также установлены оценки числа собственных значений и ядер интегральных операторов, порождённых рассматриваемой эллиптической задачей. Среди работ, в которых изучались спектральные свойства вырождающихся эллиптических операторов, укажем работы С. Г. Михлина [59], А. И. Ачильдиева [4], Г. В. Розенблюма [68], И. Л. Вулиса, М,З.Соломяка [11] и других.
Настоящая диссертационная работа посвящена доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости общих граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений и представляет собой развитие того направления, которое было начато в работах В.П.Глушко [ 12]—[24], [29].
Работа состоит из двух частей. В первой исследуется разрешимость начально-краевой задачи для вырождающегося параболического уравнения, устанавливается коэрцитивная оценка решения граничной задачи для исследуемого типа операторов, основанная на обобщении теорем Марцинкевича [62] и Мишина [60] о мультипликаторах.
Во второй части рассматривается разрешимость эллиптической
задачи в полубесконечном цилиндре со слабым вырождением на «дне»
цилиндра (случай сильного вырождения рассмотрен в работе В.П. Глушко
[18]), сингулярностью на бесконечности и однородными условиями
Дирихле на боковой границе цилиндра. На этой основе исследуются
спектральные свойства задачи.
Цель данной диссертационной работы:
I [доказательство разрешимости и оценка решения начально-краевой задачи для параболического уравнения с вырождением по пространственной переменной;

д2 _Р~
дХ;дХ:

к--со
, 1
:(*>*')-,£м 2 ф(ч(«•*)«.!«)«*’
7 / [_£=~ао |
гдеФ(0)(#Д) = ^0Ф (£А), фМ(£*) = -££уФ (£*), 1 Ф(2) (%,к) = -у2к2Ф (4,к).
Сходимость в Ьр (еп~х х (-я-, ж) х рядов (4.16) и соответствующая
оценка

Г Ю=!

дх{дх]

вытекает из утверждения 1.1 и оценок
Ф(0)(£,£)<А/, Ф [и){$,к)<М, Ф(2)(££)

э(2)|

(4.17)
где ^еЯ"; к = 1,2,...; 1 Из вида Ф10^ (%,к), Ф^(£,£), 1 Кроме того, из оценок (4.17) следует, что функция ,уД|
принадлежит й^’1 х (-я, я-) х Е} и удовлетворяет условиям (4.7). Теорема доказана.
Сужение построенной функции м>{х, у,^ на 7?"4 х (0,я) х Е+ приводит к следующему утверждению
Теорема 4.2. Пусть §(х ,у,^ принадлежит Ьр [еп~х х(0,я)х Е+^ при
1<р<со. Тогда существует решение задачи (4.5)-(4.7),

принадлежащее IV,, 1Еп 1 х (0,я) х Е+ I, причём справедлива оценка
ГС* НС-
где с = с(п, р^ - положительная постоянная; || • ||* - норма в пространстве Ер (Еп~1 х (0,я)х Е+^ .