О разрешимости квазилинейных смешанных задач для параболических уравнений

• Автор: Магомедова, Елена Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 76 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА Е КРАЕВАЯ ЗАДАЧА И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ Л
§ Е Постановка проблемы и рассмотрение соответствующейкраевой задачи
§ 2. Асимптотическое представление для функции Грина
§ 3. Формула интегрального преобразования, разложения в ряды Фурье
§ 4. Леммы об основных интегралах, связанных с задачей (1)-(3)
§ 5. Решение задачи (1 )-(3) в случае однородного уравнения (1)
ГЛАВА 1Е СВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
§ Г Интегро-дифференциальное уравнение для задачи (1)-(3)
§ 2. Система интегральных уравнений
§ 3. Решение системы интегральных уравнений
§ 4. Дифференцируемость решений системы (38) и заключительные теоремы
ГЛАВА III. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Многомерная смешанная задача для квазилинейной параболической системы
§ 2. Задача о поперечных колебаниях упругого стержня
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Изучению смешанных, иначе начально-краевых, задач для линейных дифференциальных уравнений и систем посвящено большое число работ [2],
возникают различные методы решения, отражающие в свою очередь развитие математической науки. Это - метод разделения переменных Фурье, методы интегральных преобразований, операторные методы, метод характеристик, метод Галеркина, метод конечных разностей и другие.
Одно из центральных мест принадлежит методу Фурье, модификация которого используется в нашей работе и с которым связан большой математический аппарат, являющийся удобным и мощным инструментом исследования задач математической физики.
Впервые метод Фурье получил строгое обоснование в работах
В.А.Стеклова [40], рассмотревшего смешанные задачи для уравнения колебания неоднородной струны и охлаждения неоднородного стержня.
Для многомерной смешанной задачи
[3], [13], [17], [18], [22], [26], [35], [38], [39], [42], [47]. При этом естественно
где 57 - самосопряженный оператор, порожденный выражением
метод Фурье обоснован О.А. Ладыженской [24].
Исчерпывающие результаты по обоснованию метода Фурье для смешанных задач гиперболического и параболического типов в случае разделяющихся переменных получены В.А.Ильиным [19].
Для случая несамосопряженности пространственного оператора задачи обоснование метода Фурье приводит к исследованию разложимости и суммируемости функций в ряды по главным функциям оператора (либо пучков операторов), [10], [17], [28].
Применение метода Фурье к уравнениям с неразделяющимися переменными приводит к значительным трудностям, связанным с исследованием бесконечных систем дифференциальных уравнений, из которых определяются коэффициенты разложения в ряд для неизвестного решения. Отметим в этом направлении работы З.И.Халилова и Ю.Ф.Коробейника и их учеников [16], [21], [43], [44], в которых использован обобщенный метод Фурье, примененный С.Н.Бернштейном в работе [8], относящейся к смешанной задаче для одного нелинейного гиперболического уравнения.
Дальнейшее развитие обобщенный метод Фурье получил в работах [14], [15], [34], [45], относящихся к нелинейным задачам.
Отметим повышенный интерес к таким задачам в последнее время и значительное продвижение в их исследовании, особенно для параболических уравнений, что отчасти вызвано многочисленными приложениями в вопросах моделирования процессов диффузии и химических превращениях, при моделировании биологических процессов, процессов теплообмена и других областях, см. [4], [48], [49], [50]. Отметим важные фундаментальные исследования O.A. Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой и их

-ЬуЛ21 Ю
}|Я|5е 2 тахг($р()ц{с1\ < тахц{)с({ у8е 2 °<1у
К * I о

= тахг(Е,)- с()ц/(] Г— §х5е * с!х< оо

Такие же оценки проведем и в случае второго интеграла.
— I 2
Лемма 5. Функция Ф(Тх)= — ]Я
своими производными по х до третьего порядка на прямоугольнике [0,Т]х[0,1] , причем, производные можно брать под знаками интегралов.
Доказательство. Достаточно установить равномерную сходимость интегралов
|яЛя/%(дкШ,, *=0,1,2,3. (28)
пг I * Эх1
Нам потребуется развернутая форма для выражений указанных в формуле (17). Она следует из исходных асимптотических формул (16), (17) и последующих построений для функции [л(х)п()] = г|(*)г|(£) + +г]2 +

, Лл(*&у(%)+Л(*)См(£) + т1м(*)£дз(5) , МхХ)
Я2 Я2 ’
£7(х,Д,Я) = г|(*)Ш+ +

+ ъ((?) + , Щх&Х)
я2 я3 ’