Теория индекса нелокальных эллиптических задач

• Автор: Савин, Антон Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 212 с.

Содержание
Введение
1 Операторы для дискретной группы преобразований
1.1 Эллиптические операторы
1.1.1 Операторы. Символы
1.1.2 Эллиптичность. Теорема конечности
1.2 Пример. Операторы с растяжениями-сжатиями
1.2.1 Операторы растяжения-сжатия
1.2.2 Символы
1.2.3 Обратимость символов в зависимости от параметра я
1.2.4 Схема исследования оператора в шкале Соболева
1.2.5 Пример
1.3 Формула индекса
1.3.1 Индекс специальных двучленных операторов
1.3.2 Индекс операторов общего вида
1.3.3 Об аналитическом индексе нелокальных операторов
1.4 Пример. Индекс оператора на двумерном многообразии
1.4.1 Касательный оператор Эйлера
1.4.2 Индекс нелокального оператора
1.5 Пример. Индекс операторов с растяжениями-сжатиями
1.5.1 Топологический индекс
1.5.2 Теорема об индексе
1.5.3 Пример. Индекс операторов на сфере §
2 Операторы для компактной группы Ли преобразований
2.1 Эллиптические операторы
2.1.1 Операторы
2.1.2 Псевдодифференциальная униформизация
2.1.3 Теорема конечности для трансверсально эллиптических ИДО
в сечениях бесконечномерных расслоений
2.1.4 Теорема конечности для нелокальных операторов
2.2 Формулы индекса
2.2.1 Характер Черна трансверсалыю-эллиптических операторов
2.2.2 Индекс трансверсально эллиптических операторов
2.2.3 Характер Черна нелокальных операторов
2.2.4 Индекс нелокальных операторов
2.2.5 Дополнение. Трансверсальное интегрирование

3 Задачи на многообразиях с расслоенным краем
3.1 Эллиптические трансверсальные ПДО
3.1.1 Символы
3.1.2 Операторы
3.1.3 Формула композиции
3.1.4 Доказательства теорем об ограниченности и композиции .
3.1.5 Эллиптичность. Теорема конечности
3.2 Нелокальные эллиптические краевые задачи
3.2.1 Краевые задачи
3.2.2 Эллиптичность. Теорема конечности
3.2.3 Пример. Эллиптическая краевая задача для оператора сигнатуры
3.3 Формула индекса
3.3.1 Краевые задачи для многообразия с накрытием на крае
3.3.2 Сведение краевой задачи к оператору на замкнутом многообразии
3.3.3 Теорема об индексе скрученного оператора сигнатуры . . .
3.3.4 Теорема об индексе операторов общего вида
4 Гомотопическая классификация эллиптических операторов и её приложения
4.1 Гомотопическая классификация и /С-теория
4.1.1 Проблема гомотопической классификации
4.1.2 Ell-теория и К-теория
4.2 Классификация операторов на многообразии с расслоенным краем
4.2.1 Классификация трансверсальных ПДО на расслоении . . .
4.2.2 Операторы на многообразиях с расслоенным краем
4.3 Приложения гомотопической классификации
4.3.1 Препятствия к фредгольмовым задачам для эллиптических операторов
4.3.2 АГ-группы С*-алгебр ПДО
4.3.3 Изоморфизм и двойственность Пуанкаре в АГ-теории на
особых многообразиях
4.4 Дополнение. Эллиптические операторы и А'-гомологии
4.4.1 Операторы на гладких замкнутых многообразиях
4.4.2 Операторы на многообразиях с краем
5 Операторы над С*-алгебрами для дискретной группы изометрических преобразований
5.1 Эллиптические операторы
5.1.1 Операторы. Символы
5.1.2 Эллиптичность. Теорема конечности

5.2 Характер Черна эллиптического символа
5.2.1 Гомотопическая классификация эллиптических операторов
5.2.2 Абстрактный характер Черна
5.2.3 Пример. Характер Черна для скрещенных произведений .
5.3 Теорема об индексе
5.3.1 Теорема об индексе в скалярном случае
5.3.2 Теорема об индексе в общем случае
5.3.3 Пример. Высшие индексы
5.4 Некоторые свойства топологического индекса
5.4.1 О вкладе в индекс тривиального элемента группы
5.4.2 Индекс скрученных операторов
5.4.3 Индекс геометрических операторов
5.5 Дополнение. Скрещенные произведения
5.5.1 (Д-скрещенные произведения
5.5.2 Гладкие скрещенные произведения
Список литературы

Символы в полюсах сферы. Символы сгДП) и сг_(1)) являются целыми функциями комплексной переменной 2, гладко зависящими от попеременной £ (или £')■
Предложение 1.11. 1. Символ оявляется периодическим по перемен-
ной z с периодом 2тгг/1пд
2. При фиксированном значении коперемеиной £ в произвольной горизонтальной полосе а < ІШ2 < Ь имеется не более конечного числа нулей символа 0д(£>)(£, г).
3. Имеется конечное число непересекающихся открытых интервалов
упорядоченных слева направо, со следующим свойством: символ а$(П)(£, г) обратим при всех ^ / 0 иг таких что 11е2 е Д*’ и и ■ ■ ■/ если же Но 2 ^ Дf и Д| и ..то символ оДЛД&ь-г) необратим при некотором
Со Ф 0.
Аналогичными свойствами обладает символ олг(П)(£', г). Соответствующие открытые интервалы обозначим через Д^, Д^,
Доказательство. Первые два утверждения вытекают из того, что символы являются многочленами Лорана от функции дг.
Построим интервалы (1.24). Через Л(£) С К обозначим (конечное) множество действительных частей нулей функции сгз{П)(£, г). Тогда множество А = Ц{|=1 Л(£) является конечным объединением замкнутых интервалов (по соображениям непрерывности). Следовательно, дополнение к этому множеству является конечным объединением непересекающихся открытых интервалов, которые и есть (1.24). □
Символ на основном страте. Пусть в 6 ДД Тогда через Б3 обозначим число нулей функции ОД^-ОДДг) в полуполосе
К сожалению, число зависит от £. Дело здесь в том, что при изменении параметра £ некоторые из 2-нулей могут стремиться к —оо. Учитывая это обстоятельство, определим число как сумму Бу и кратности нуля функции
(1.24)
{Лес < т/2 + в,0 < ІІП2 < — 27г/1пд}.
(1.25)
£д,( 0,О(9я-т/2«Г1)

Подразумевается, что определитель (Іеі; од (!))(£, г) не тождественный нуль.
3Допускаются полубесконечные и бесконечные интервалы.