Теория Нетера многоэлементных краевых задач со сдвигом для функций, аналитических в области

• Автор: Скороход, Сергей Федорович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Одесса
• Количество страниц: 133 c. : ил

Пусть I - простой замкнутый контур Ляпунова, разбивающий комплексную плоскость на две области: ограниченную -7) и содержащую бесконечно удалённую точку - 7) • Через (*)

обозначим гомеоморфизм контура Г на себя, сохраняющий

ориентацию на / .

Краевыми задача!® со сдвигом и сопряжением для аналитических функций называются задачи, в граничные условия которых линейно входят как предельные значения искомых аналитических функций, вычисленных в различных точках контура, так и их комплексно-сопряжённые значения. Если при этом число предельных значений в краевом условии больше двух, то краевая задача называется многоэлементной.
Постановку краевых задач при которой правая часть и предельные значения искомых функций принадлежат пространству

И (ГI > будем называть Н - постановкой, если же

/и. уи
правая часть и угловые предельные значения искомых функций принадлежат 7 (Г) ~ - постановкой.
р Р
Стимулом к активному изучению многоэлементных краевых задач в последние годы кроме теоретического интереса служат и различные приложения таких задач к теории упругости, гидромеханике, к задачам о склеивании поверхностей положительной кривизны и т.п. (см., например, списки литературы в Н.И.Мусхелишвили [і] , И.Н.Векуа [2] , Н.П.Векуа [з] , Ф.Д.Гахов [4] ,

Постановки краевых задач со сдвигом можно обнаружить ещё

в трудах Б.Римана, однако объектом систематического исследования они стали значительно позднее, под влиянием работ Д.Гильберта, С.Газемана [б] и Т.Карлемана [7]
Изучение краевых задач со сдвигом в СССР началось в 40-ых годах по инициативе Н.И.Мусхелишвили. Первые работы в этом направлении, ставшие основополагающими, принадлежат Д.А.Квеселаве [8]. [9] . В этих работах Д.А.Квеселава дал полное решение
основных двухэлементных краевых задач со сдвигом.
?ДД(0] = С«) Фдо +<}(*), (0.1)
Д Ь. _0)] = С о) ФД) + ,(о.2)
(задача Карлемана) , (0.3)
Позднее в работах Г.С.Литвинчука и Э.Г.Хасабова [ю] , [ II]
была исследована задача
(*) + % (задача типа Карлемана) , (0.4)
Здесь Сед, в Н^(Г)
. В задачах
(0.3) и (0.4) дополнительно предполагалось, что
л+ и+С±)] ~ Ь (сдвиг Карлемана). Следует указать
на принципиальное различие между краевыми задачами для пары функций, аналитических в области (0.1), (0.2) и краевыми задачами для одной функции, аналитической в области (0.3), (0.4). Краевые задачи (0.3), (0.4) являются вообще говоря переопределёнными и потому для устранения их переопределённости дополнительно требуется выполнение необходимых условий разрешимости.
Для задачи (0.3) эти условия указаны Т.Карлеманом:

С Си) = / , ^ + С0,(oL) = (7
Дальнейшее развитие теория краевых задач (0.1) - (0.4) и их различных обобщений получила в работах Г.С.Литвинчука, Г.С.Литвинчука и Э.Г.Хасабова [Ю] , Э.И.Зверовича, В.А.Чернец-кого, Л.Г.Михайлова, Н.Т.Мишнякова и многих других авторов.
Исследования Д.А.Квеселавы нашли свое естественное продолжение в работах Н.П.Векуа [3] , изучившего различные обобщения краевых задач (0.1) - (0.4). Н.П.Векуа принадлежит инициатива постановки краевой задачи со сдвигом Карлемана
9+[*L(t)] = act) 9%) + Ut) 9%) (0.5)
которую ныне обычно называют его именем.
Из-за сложности краевого условия задача (0.5) не допускает столь же полного решения, которое получено для задач (0.1) - (0.4) в общем случае. Поэтому для неё, как и для других многоэлементных задач, основной целью исследования является построение теории Нетера: нахождение условий нормальной разрешимости, вычисление индекса (разности между числом линейно независимых решений однородной задачи и числом условий разрешимости), получение дефектных функционалов, а в тех случаях, когда это возможно, и вычисление чисел линейно независимых решений и условий разрешимости
В работе Н.П.Векуа [12] получены необходимые условия разрешимости переопредлённой задачи (0.5) для случая изменяющего ориентацию сдвига Карлемана:
а [оL(i)]a(i) + i U(t)l &(t) = 7, (q>6)
OL E(i) + & Uw] CL (t) = О ^ (0.7)

1= £<Г
0 + е Ц
.и 7 +ш
(СРгС-0г)Й-
<*. 7 + £ 1у^ 17 + еУ
<1 7 + е к/ 7 + Ё к
РГСРГ о /

- компактный оператор. Следует заметить, что при таком способе сведения краевая задача (6.1) сводится к сингулярному интегральному уравнению с прямоугольными матричными коэффициентами.
б) Сведение к краевой задаче для пары функций, аналитических в области. Предположим, что М имеет в 1~,р (I ) прямое дополнение N . Введём линейный оператор
Ц •' !_. ( Г) —*»■ Ц (Г) , действующий следующим обраР Р
зом: /х = Х7 + Хг Ь (Г), Кх=У1-Хг ■
Ввиду того, что / (Г) = /V © А/ , из неравенств

11У^1|=11х,-^1к1|х,МК1|аСз||х,+у2[|вС511х[| ,
где С3>0 некоторое вещественное число [45] , заключаем, что £/ - ограниченный оператор. Кроме того, как нетрудно заметить и1* 7, м=Ьл.а-и), &**.(?+и),
{0*и)К’К , у (7-и)К‘0
Предположим также, что существует непрерывно обратимый линейный ограниченный оператор £ такой, что | К - - .
Равенство