Краевые задачи для уравнений с доминирующей частной производной

• Автор: Миронов, Алексей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 260 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Метод Римана

§ 1. Общий случай

1.1. Доказательство основного тождества

1.2. Построение формулы решения задачи Коши

§ 2. Некоторые частные случаи задачи Коши

2.1. Задача на плоскости

2.2. Задача в трехмерном пространстве

2.3. Уравнение пятого порядка в четырехмерном пространстве

Глава 2. Интегральные уравнения для функций Римана

§ 3. Уравнения Бианки
3.1. Уравнение четвертого порядка
3.2. Уравнение произвольного порядка
§ 4. Уравнения с кратным дифференцированием по одной из переменных
4.1. Уравнение третьего порядка
4.2. Уравнение четвертого порядка
4.3. Уравнение пятого порядка
4.4. Уравнение с произвольным числом независимых переменных
Глава 3. Задачи с нормальными производными на характеристиках для уравнений Бианки
§ 5. Трехмерное пространство
5.1. Интегральные уравнения для граничных значений Гурса .
5.2. Условия и характер разрешимости задач
§ 6. Размерность п ^
6.1. Четырехмерное пространство
6.2. Любое конечное число независимых переменных
Глава 4. Характеристические задачи для факторизованных гиперболических уравнений
§ 7. Задачи в пространствах размерности п = 3,
7.1. Трехмерное пространство
7.2. Четырехмерное пространство
§ 8. Задача в Rn
8.1. Постановка задачи и ее сведение к интегральным уравнениям
8.2. Вывод условий разрешимости
Глава 5. Групповые свойства уравнений Бианки
§ 9. Уравнение третьего порядка
9.1. Построение определяющих уравнений
9.2. Выделение некоторых классов уравнений с постоянными отношениями инвариантов Лапласа
9.3. Трехмерный аналог уравнения Эйлера-Пуассона

§ 10. Уравнение четвертого порядка
10.1. Построение инвариантов Лапласа
10.2. Определяющие уравнения
10.3. Некоторые классы уравнений с постоянными отношениями инвариантов Лапласа
Литература

поверхности 5 по XI, ... , хп находятся дифференцированием и — и(ц1(хь ..., хп),..., цп{х,..., хп)) как сложной функции. Нетрудно заметить, что в силу условий гладкости, налагаемых на поверхность У и данные смешанной задачи, все частные производные на 5'° до порядка (т—1) включительно, входящие в уравнение (1.1), будут непрерывными функциями.
Решение задачи Коши существует и единственно, так как заменой
V = и 1„.2 ...пг„
1 2 " * п
задача Коши сводится к интегральному уравнению с частными интегралами относительно функции у, решение которого существует и единственно в классе непрерывных функций. Покажем это. Поверхность 5 может быть задана уравнениями х% = аДхцх2, ■ • •, я»-1, Яч+ь ..., хп). Введем интегральные операторы

/,<р(хь ... ,хп) = У <р(хь... ,Хд_1,а^,хл-+1,хп)йор

Тогда
= ^(жъ • • • ,х„) + /22.. ./£щ(х1,... ,х„), (1.17)
где функция ^(х1,..., х„), очевидно, определяется по известным значениям частных производных функции и на поверхности 5. Учтем, что
*^7 ^ ^
/^г>(х1, ...,xn) = J (Хз п(хь ..., х^'_1, оу, х^+1, Яп)<*ау-

Подставляя (1.17) в (1.1), получим интегральное уравнение относитель-