О некоторых смешанных краевых задачах для эллиптических уравнений, вырождающихся внутри и на границе области

• Автор: Хан Сун Э
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
1. СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕО УРАВНЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ
1.1. Постановка задачи
1.2. Теоремы единственности и существования решения задачи
2. СМЕШАННАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ, ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ВНУТРИ И НА ГРАНИЦЕ ОБЛАСТИ
2.1. Постановка краевой задачи
2.2. Однозначная разрешимость задачи
3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ,
С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ
3.1. Постановка краевых задач
3.2. Теорема о единственности решения поставленных задач
и явные формулы решения краевых задач
ЛИТЕРАТУРА

Введение
При решении многих важных вопросов прикладного характера, а именно в газовой динамике, теории малых изгибаний поверхностей вращения, безмоментной теории оболочек и других областях математической физики, встречаются вырождающиеся эллиптические уравнения. Поэтому в последние десятилетия краевые задачи для таких уравнений привлекают внимание многих авторов.
Первые работы по вырождающимся эллиптическим уравнениям относятся к уравнению вида
рассматриваемому в области I), ограниченной отрезком АВ оси х и гладкой кривой Г, выходящей из точек А и В, лежащей в полуплоскости у > 0. Для уравнения(1) задача Дирихле и задача X, в которой на Г заданы значения искомой функции, а на АВ поставлено усло-
Геллерстедтом [76], Е. Хольмгреном [78], Ф. И. Франклем [65], К. Е. Бабенко [2] и другими.
Ф. Трикоми в фундаментальной работе [62] изучил разрешимость задачи Дирихле для нормальной области Д, а затем, применяя альтернирующий метод Шварца, и для областей общего вида. Нормальной областью Д для уравнения (1) будем называть область И, у которой кривая Е совпадает с ’’нормальной” кривой, представленной уравнением

С. Геллерстедт [76] показал, что задача Дирихле и задача N могут быть решены при помощи функции Грина, которая в случае нормальной области выписывается в явном виде. Ранее функция Грина задачи N в явном виде была получена Е. Хольмгреном [78]. В случае произвольной области В регулярная часть функции Грина ищется в виде потенциала двойного слоя с плотностью д(£). Для плотности ц{£) получается уравнение Фредгольма, причем предполагается, что концы кривой Г совпадают с дугами нормальной кривой. Ф. И. Франклю в статье [65] удалось избавиться от этого ограничения. Он сводит обе рассматриваемые краевые задачи к уравнениям Фредгольма, причем предполагается, что кривая Г подходит к оси х в точках А и В под прямым углом. Если же Г не удовлетворяет этому условию, то на концах кривой Г ядро интегрального уравнения обращается в бесконечность порядка единица и, следовательно, неприменима теория Ф. Рисса — Шаудера вполне непрерывных операторов в пространстве Банаха. Л. Вольферсдорф показал, что в этом случае также имеет место альтернатива Фредгольма. В статье [11] он исследовал задачу Неймана для уравнения Трикоми (1).
Н. Е. Товмасян [61] изучил задачу Дирихле и задачу X, когда граничные данные имеют разрыв в конечном числе точек, находящихся на АВ.
А. В. Бицадзе [4] доказал существование и единственность решения задачи Дирихле для уравнения
М. В. Келдыш [28] установил, что постановка первой краевой задачи
Устремим £ к нулю в (1.2.7) и получим
-—— <р(- cos в0,1/4sin2 во) /(1 + i)~1/2_/V_:3/2 dt = <р(£о, ?7о).

Таким образом, мы показали, что выполняется условие (1.1.2).
Имея представление функции и(х, у) в виде (1.2.4), учитывая краевое условие (1.1.3), мы получим соотношение между функциями г (ж) и г'х(ж) на интервале 1\
т{х) = -71 J + , (1.2.8)

4>i(x-,(p,v) = 1/[тг161-/?]- 1)х

X |{[(ж - £)2 + Дт?]1/2 - [1 + ж2(£2 + 4т?) - 2хе]1/2“/?}[(1 - )f-3/2 +/(1/2 -/?)/{[(*- Q2 +

-[1 + ж2(£2 + 477) - 2x]-14x2}[z(l - z)f~ dz}di-
-г)Р~1/2 - /3) j {[(ж - О2 + 4?7]~1/2-/?2(£ - ж) о
— [1 + ж2(£2 + 477) - 2ж6]“1/2“/?(2еж2 - 2x)}[z{l - z)f~3/2 dz dV}-
-7i/"K){k-/|1-|i-+e|l-2's}
После несложных преобразований запишем Фi(x;p,v) в более ком-
пактном виде
!-)х
х / Ж£>??)ЖЖ(ж-02 + 4]_1/2~ЖЖ£-V2£*?]-
£2+4г?