О дифференциальных уравнениях, порожденных коммутирующими линейными дифференциальными операторами

• Автор: Куижева, Саида Казбековна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 98 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1 Дробные степени некоторого класса дифференциальных операторов
1.1. Вычисление дробных степеней оператора
Штурма-Лиувилля
1.2. Вычисление дробных степеней дифференциальных операторов на примере оператора Абеля
2 Уравнения в частных производных, порожденные линейными дифференциальными операторами
2.1. Некоторые вспомогательные предложения
2.2. Уравнения в частных производных, порожденные линейными дифференциальными операторами
2.3. Потенциальная функция от дифференциальных операторов
2.4. Аннулирующий многочлен для коммутирующих дифференциальных операторов
3 О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ для уравнения гиперболического типа третьего порядка
3.1. Задача Коши для гиперболического уравнения третьего порядка
3.2. Смешанные задачи для гиперболического уравнения третьего порядка

3.3. Связь нелокальных задач для некоторых классов
дифференциальных уравнений с локальными задачами
для нагруженных дифференциальных уравнений
Список ЛИТЕРАТУРЫ

Введение
Диссертационная работа посвящена решению класса зацач, связанных с дифференциальными уравнениями, порожденными коммутирующими линейными дифференциальными операторами.
Дифференциальные уравнения, порожденные коммутирующими линейными дифференциальными операторами образуют широкий класс уравнений, который включает в себя уравнения нулевой кривизны, тесно связанные с теорией солитонов [1], [10], [15], [43], [48], [49], [50]. Дифференциальные операторы и их дробные степени, вычисленные по методу И.М. Гельфанда и JI.A. Дикого [9], образуют кольцо, в коммутативном расширении которого строятся дробные степени дифференциальных операторов и соответствующие нелинейные дифференциальные уравнения, решением которых являются солитоны. Алгебраические аспекты этой теории изложены Ю.И. Маниным в работе [34] и его учениками (например, [55]).
Дифференциальные уравнения ненулевой кривизны изучались в работах С.Л. Новикова и П.Л. Гриневича [8], которые обратили внимание на трудоемкость решения этих уравнений и на немногочисленность решений, имеющих физический смысл.
Дифференциальные уравнения, порожденные линейными дифференциальными операторами являются обобщением уравнений нулевой кривизны и ряда уравнений математической биологии, рассмотренных
А.М. Нахушевым в работе [42]. Нетривиальным примером такой алге-браизации является известное дифференциальное уравнений Абеля, порожденное коммутирующими дифференциальными операторами и, связанное с нелинейным уравнением в частных производных третьего порядка, лежащего в основе математической модели явления переноса энергии ги-

о получим уравнение в частных производных:
2 (1 /и = [н {и2)хх]хх - 2 (а/и)х . (1.2.8)
1.2.5. В этом пункте рассмотрим приложение уравнения Абеля к од-ому уравнению математической биологии.
Рассмотрим дифференциальное уравнение [42. С. 261]:
vt + (av + /3) vx + 7 vxxx = (avx 4- bvxt)x , (1.2.9)
де a, /3,7,a,b - некоторые постоянные.
В классе функций v = v (х, t), представленных в виде v — ct 4- и (ж), це ci = const, уравнение (1.2.9) редуцируется к уравнению
(OiU Ф ^) их 4“ 'у Uxxx ~~ Q'V'xx — • (1.2.10)
Стационарные решения уравнения (1.2.9) определяются как решения равнения (1.2.10) с правой частью ci = 0.
Умножим обе части уравнения (1.2.10) на их и проинтегрируем. То-да уравнение (1.2.11) примет вид:
7 ихх ~ аихх 4- /3и — с2 4- ciu - (аи2) /2. (1.2.11)
Сделаем замену р = их, тогда уравнение (1.2.11) сводится к уравне-ию Абеля второго рода:
dp а а о В с . „ ч .
Н2--Н 4--. 1.2.
аи 7 2j 7
Подстановка р = 1/у приводит уравнение (1.2.12) к уравнению Абеля ервого рода