Специальные классы многомерных фуксовых систем и их приложения

• Автор: Лексин, Владимир Павлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 221 с. : ил.

1 Фуксовы системы и обобщенные уравнения Книжника-Замо-лодчикова

1.1 Конфигурации гиперплоскостей и фуксовы системы на С". Интегрируемость фуксовых систем

1.2 Монодромия многомерных фуксовых систем. Проблема Римана-Гильберта

1.3 Многомерная теория Лаппо-Данилевского

ф 1.4 Метод Лаппо-Данилевского и пересечение радикалов элементов

нижнего центрального ряда некоторых фундаментальных групп

1.5 Коксетеровские и комплексные группы отражений. Обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова
1.6 Голономия обобщенных КЗ уравнений с формальными коэффициентами. Ассоциаторы Дринфельда

2 Монодромия фуксовых Д-систем с коэффициентами

ранга один
2.1 Билинейные и эрмитовы формы на С?1, ассоциированные с конфигурациями векторов в С1
2.2 Условие Веселова и интегрируемые
Д-системы
2.3 Монодромия Д-связностей Веселова-Коно-Чередника для вещественных систем корней

2.4 Монодромия Д-связностей для комплексных систем корней
2.5 Интегрируемые й-системы и специальные решения уравнений ассоциативности
Теорема Дринфельда-Коно для КЗ уравнений коксетеровских
типов В
3.1 Теория Дринфельда-Коно для КЗ уравнений типа А
3.2 Введение в теорию Дринфельда-Коно типа Вп
3.3 Сплетенные квази-биалгебры коксетеровского типа Вп и обобщение теоремы Дринфельда-Коно
3.4 Теоремы жесткости и доказательство
Д„-аналога теоремы Дринфельда-Коно
Обобщенные КЗ операторы и операторы Шредингера с потенциалами Калоджеро-Мозера
4.1 Обобщенные уравнения Книжника-Замолодчикова и операторы Калоджеро
4.2 Отображение Веселова-Мацуо-Чередника
4.3 Обобщенная формула восстановления
Веселова-Фельдера
4.4 Канонические формы и универрсальные операторы Лапласа
4.5 Универсальные операторы Дункла и универсальные гамильтонианы. Многообразия Бете-Дункла
4.6 Об изоморфизме универсальных моделей Калоджеро во внешнем поле осциллятора и универсальных моделей Сазерленда
Уравнения Книжника-Замолодчикова и изомонодромные деформации
5.1 Деформации Книжника-Замолодчикова и их редукция к нормализованным деформациям Шлезингера
5.2 Уравнения Шлезингера и аналитические свойства их решений
5.3 Характеризация KZn решений уравнений Шлезингера
Работа посвящена интегрируемым линейным мероморфным пфаффовым системам на комплексных многообразиях. Эти системы записываются в виде
где мероморфная матричная дифференциальная 1-форма П удовлетворяет условию Фробениуса о?0 = О А О и имеет полюса на некоторой конфигурации комплексных гиперповерхностей в комплексном многообразии. Если полюса у системы логарифмические, то такие системы называют фуксовыми. Их активное исследование началось в конце шестидесятых годов XX века.
В работе, в основном, исследуются фуксовы системы на комплексных линейных пространствах С", которые имеют логарифмические полюса на конечных конфигурациях гиперплоскостей и постоянные коэффициенты. А именно, эти системы записываются в следующем виде
где функция Ф(г) принимает значения в некотором комплексном линейном пространстве Ср, р > 2, ^ — постоянные матрицы размера р х р, стандартно действующие на Ср, а а, (г) — линейные функции на С Такие системы названы в дисссертации сис-
[tij > hk + tjk - [tjk> hj + hkl -= Kr*> 4j + = О, 1 < * < j < к < n,
fö. + *£] = [$. *5+ *£]
= [*ifc7 4j + i%} = 0, 1 < І < j < к < n, [іфЩ =0, 1 < і M«] = [*£,*£]
= ЩЛы = О, {*,;} n{M} = 0.
Конфигурации типов h{ri), п > 5(в частности, при п = 6, G2.)
Конфигурация особенностей системы типа h{n) является конфигурацией прямых в двумерном комплексном пространстве и условия интегрируемости состоят в коммутировании каждого оператора tj с суммой всех остальных, то есть элемент Т = і h является элементом центра ассоциативной алгебры порожденной коэффициентами {tj, j — 1,... , n}
Для конфигураций типа Е$, Ej, Е$, Я4, Я3, Я4, соответствующие системы Жерара-Левеля и условия интегрируемости для них можно выписать в явном виде, по соответствующей корневой системе (см. [7]). Для написания условий интегрируемости необходимо перебрать все подсистемы корней ранга 2. Это, во всех случаях, достаточно громоздкая система равенств, и мы не будем выписывать их здесь в явном виде.
(1.21)
где С = ехр(^).