О некоторых качественных свойствах решений дифференциальных уравнений

• Автор: Трамова, Азиза Мухамадияевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 67 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Дифференциальные уравнения первого и второго порядков
§ 1. Линейные и нелинейные уравнения первого и второго порядков
§2. Осцилляционное свойство уравнения типа Эмдена - Фаулера
§3. О собственных функциях эллиптического операторного пучка
§4. Уравнения эллиптического типа
§5. Уравнения параболического типа
§6. Дифференциальные уравнения с опережающим аргументом
Глава II. Уравнения высокого порядка
§ 7. Нелинейные уравнения произвольного порядка
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность темы исследования. Необходимость настоящего исследования была обусловлена внутренней логикой развития качественной теории дифференциальных уравнений и попыткой внести свою лепту в развитие математики, дабы поддержать процесс познания без замедления.
Раздел качественной теории дифференциально - функциональных уравнений, в общем, дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, а в частности, как сейчас принято называть, теорией осцилляции решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом стал активно развиваться с конца сороковых годов (докторская диссертация А. Д. Мышкиса). Прогресс в этой области был весьма быстрым. К сегодняшнему дню число публикаций в этой области насчитывает несколько тысяч. Причиной этого, несомненно, является все большее значение, которое придается дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом в создании математических моделей реальных процессов с последействием. Важной стороной исследования этих уравнений является выяснение осцилляционных свойств их решений. Приведем здесь лишь некоторые из возможных вопросов, в которых они нужны: оценки промежутков времени между моментами прохождения равновесия системой с последействием, выяснение условий неограниченного существования или же.наобо-рот, - «обреченности» биологической популяции; а эволюция популяции является основным объектом экологии, которая изучает взаимоотношение человека и вообще живых организмов с окружающей средой и тому подобные вопросы.
Из изложенного следует, что область теории дифференциально - функциональных уравнений, которой посвящена диссертационная работа, является актуальной.

Цель исследования. Основная цель работы состоит в получении новых критериев колеблемости и неколеблемости решений дифференциальных уравнений и уточнению ранее полученных теорем, относящихся к этой проблеме.
Общая методика исследований. Первые работы, посвященные теории осцилляции дифференциальных уравнений без запаздывания получены Ж. Штурмом [22]. В дальнейшем этот вопрос исследовался в течении длительного времени разными авторами, которые создали эффективную методику исследования вопроса колеблемости в этом случае. В диссертацинной работе эти методики, были модифицированы, развиты и применены для исследования новых классов дифференциальных уравнений.
Научная новизна. В работе приводятся новые результаты по осцилляционным свойствам решений дифференциальных уравнений. Для широкого класса таких уравнений (как линейных, так и нелинейных ) получены условия колеблемости и неколеблемости решений.
Изучены общие качественные свойства решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка, доказаны теоремы о колеблемости решений.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы представляют математический интерес. Они могут найти широкое применение при исследовании регулируемых систем с последействием и могут иметь важное применение в теории автоматического

Таким образом, доказано, что х (t) >k0t~y. Откуда x(t) > к, t‘-aPr= к, t'-y и далее аналогичным образом получаем, что х (t) >k2t:'r.
Через конечное число шагов получим, что x(t)> к ts, где s=const>0, а это противоречит тому, что

Jx“ (tß)dt < оо.
Теорема 1.7. доказана.
Замечание 1. 4. Случай а =1 было рассмотрено в работе [26]. Замечание 1. 5. Если a ß > 7, то колеблемости нет [27]
Таким образом, уравнение (1.22) исследовано во всех случаях.
§2. Осцилляционное свойство уравнения типа Эмдена - Фаулера.
В настоящее время хорошо изучен вопрос о колеблемости решений дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом типа Эмдена - Фаулера
x"{t) + a(t) | x(r(t)) |“ sgnx(r(/)) = О,
где a (t) > О, limr(0 ’*"с0» в частности, при а > 1 (см. работы Варех Н.В., Кигу-
/->+ со
радзе И.Т., Коплатадзе Р.Г., Чантурия Т.А., Шевело В.H.).
Рассматривается одно новое уравнение, осцилляционное свойство которого аналогично осцилляционным свойствам Эмдена - Фаулера.
Пусть уравнение имеет вид :