Нестационарные методы регуляризации задачи связанного псевдообращения

• Автор: Бондарь, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 113 с. : ил.

I. Вывод операторных методов регуляризации
1.1. Псевдообратные операторы и задача псевдообращения
1.2. Задача связанного псевдообращения
1.3. Вывод и исследование операторных регуляризирующих алгоритмов Аппроксимирующая задача
II. Метод установления для задачи связанного псевдообращения
11.1. Метод установления основной задачи: вывод метода, условия сходимости
11.2. Устойчивость метода установления основной задачи
11.3. Исследование метода в условиях нормальной разрешимости составного оператора
III. Непрерывный метод регуляризации первого порядка для задачи связанного псевдообращения
III. 1. Некоторые дифференциальные неравенства и дифференциальные уравнения в банаховом пространстве
111.2. Непрерывный метод регуляризации первого порядка
111.3. Исследование непрерывного метода первого порядка в случае нормальной разрешимости составного оператора
IV. Непрерывный метод регуляризации второго порядка для задачи связанного псевдообращения
IV. 1. Непрерывный метод регуляризации второго порядка
IV.2. Исследование непрерывного метода второго порядка в условиях нормальной разрешимости составного оператора
V. Приложение
V.l. Приложение к задачам оптимального управления
V.2. Нестационарные методы построения оптимального управления
Заключение
Литература

Потребности практики привели к необходимости изучения некорректно поставленных задач; тем самым была опровергнута высказанная в начале XX века Ж.Адамаром гипотеза о нефизичности некорректных задач. Часто абстрактной моделью этих задач служит линейное операторное уравнение
Ах — у (0.1)
с непрерывным оператором А, действующим между гильбертовыми пространствами X и Y, для которого нарушены условия существования и единственности решения.
По уравнению (1) требуется найти нормальное псевдорешение х* (или псевдорешение х*, нормальное относительно заданного элемента хд € X) из множества всех псевдорешений уравнения (1):
ХА = {х EX : || Ах - у\ = inf || Аи - у\}.

Если А+ - псевдообратный к оператору А, то нормальное псевдорешение уравнения (1)
X* = А+У) (0.2)
а нормальное относительно Хд псевдорешение
X* X А -Рдг^урЖ0)
где РщА) ~ ортопроектор на ядро N(A) оператора А. Поэтому задачу отыскания нормальных псевдорешений уравнения (1) называют задачей псевдообращения.
Известно, что одним из наиболее важных методов решения задачи пеевдообращепия является метод регуляризации А.Н.Тихонова, состоящий в аппроксимации решения (2) семейством {жа}, а > 0, экстремалей функционала
Фа(х) = \Ах-у\2 + а\х\2. (0.3)
Теория и методы решения некорректно поставленных задач нашли отражение в известных монографиях А.Н.Тихонова и В.Я.Арсенина [39], В.К.Иванова, В.В.Васина и В.П.Тананы [23], М.М.Лаврентьева [27], Ф.П.Васильева [17], Г.М.Вайпикко и А.Ю.Веретенникова [16],

А.Б.Бакушинского и A.B. Гончарского [8], В.В.Васина и A.JI.Агеева [19] и многих других.
Начиная с 1970 года, стали исследовать практические задачи, абстрактной моделью которых служит уравнение (1), когда решение уравнения подчинено дополнительным линейным связям в виде линейного операторного уравнения
Вх — z, (0.4)
где В - непрерывный оператор с нетривиальным ядром N(B),
действующий между гильбертовыми пространствами X и Z
уравнениям (1) и (4) требуется найти ближайший к заданному элементу хо Е X элемент ж* (при xq = 0 - элемент х*), принадлежащий множеству всех связанных псевдорешений уравнения (1):
ХА = {х £ Xi : ||Ах - у\ = inf ||Аи — 2/||}, (0.5)
где Х = {х Е X : ||Вх — z\ = inf ||Bn — ф|}.

Задача нахождения нормального и нормального относительно хо, связанных псевдорсшений х* и ж* называется задачей связанного псевдообращения. Для простоты эту задачу будем называть основной задачей, а ж* и ж* соответственно решением и нормальным решением основной задачи.
При жо = 0 основная задача поставлена независимо в работах N. Miiiamide, К. Nakamura [52J и В.А. Морозова, H.H. Кирсановой [32]. Японские математики ввели понятие суженного псевдообратного оператора и записали точный вид нормального решения х* основной задачи:
х* = B+z + (APN(B))+(y - AB+z),
где Р/у(щ - ортопроектор на ядро оператора В.
В. А.Морозов, заменив в функционале А.Н.Тихонова (3) стабилизирующую часть на ||Бж — z||2, показал, что семейство экстремалей этого одпопараметрического функционала является регуляризирующим алгоритмом решения основной задачи.
В дальнейшем этот вариационный однопараметрический метод регуляризации и его операторный аналог рассматривались в работах других авторов [28], [22], [2], [48], [47], [50], но во всех этих работах, в

2. Приведем теорему (из [40]) существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве X:
(1.8)
Предполагается, что оператор Р(Ь,х) определен для £ СЕ [0, в], х е X и принимает значения ж) £ X.
Определение 1.5. Под решением х{Ь) задачи Коши (8) понимается непрерывно дифференцируемая на [0,в] абстрактная функция, обращающая уравнение в тождество и удовлетворяющая начальному условию.
Теорема 1.6. [40, с.359]. Пусть оператор К(£,ж) непрерывен по £ на
[0, в] при каждом фиксированном х 6 X и удовлетворяет условию Липшица
при этих же значениях переменных. Тогда на [0, в] существует единственное решение задачи Коши (8).
3. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве X вида:
где А, В, у, z- исходные данные основной задачи, a(t), r(t) - скалярные функции.
Теорема 1.7. Пусть функции a(t), r(t) определены и непрерывны на [ф,+оо). Тогда
1) на любом отрезке [to,9], в > to, существует единственное решение задачи Коши (10), (И);
2) это решение продолжимо на полуось [to, +оо).
Доказательство. 1) Правая часть уравнения (10) представляет собой
оператор F(t,x), непрерывный по t на отрезке [to,9) при каждом фиксированном х € X, и по х, удовлетворяющий условию Липшица (9) с постоянной
F(t,xi) - F(t, ж2)|| < т||ж2
(1.9)

= - a(t)l + r(t)B'B + A-A xlt) + r(t)B‘z + А'у, Ц*о) = zo, к > 0,
(1.10)
(1.11)

t0 (М()| + И<)|||В||2+И|2)<+сх>. (1.12)