О многомерных системах с гомоклиническими касаниями

• Автор: Стенькин, Олег Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Классы систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре
1.1. Условия простейшего гомоклинического касания
1.2. Свойства отображения Гц
1.3. Построение отображения Т
1.4. Три класса систем с гомоклиническим касанием
2. Системы первого класса. Гомоклинический П-взрыв и области гиперболичности
2.1. Постановка задачи. Формулировка теорем
2.2. Специальная окрестность при гомоклиническом П-взрыве
2.3. Построение областей гиперболичности. Доказательство теоремы
2.4. О границах областей гиперболичности
3. Области гиперболичности вблизи бифуркационной поверхности систем второго класса
3.1. Постановка задачи. Формулировка теорем
3.2. Доказательство теоремы

4. Бифуркации периодических траекторий систем третьего класса
4.1. Бифуркации однообходных периодических траекторий
4.2. Бифуркации двухобходных периодических траекторий
4.2.1. Бифуркации в классе систем на Дз
4.2.2. Бифуркации в трансверсальных семействах
4.2.3. О бифуркационных диаграммах для двухпараметрических семейств
4.-3. Бифуркации трехобходных периодических траекторий систем
третьего класса
4.3.1. Бифуркации в классе систем на Дз
4.3.2. СиБр-бифуркации в двупараметрических семействах

систем, близких к системам с негрубои гомоклиниче-ской траекторией
Дополнение

Введение
В теории бифуркаций многомерных динамических систем одной из принципиальных задач является задача изучения динамических явлений в системах с негрубыми гомоклиническими кривыми Пуанкаре и системах, близким к ним. Напомним, что траектория лежащая в пересечении устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий седлового периодического движения называется гомоклинической кривой Пуанкаре. Такая траектория грубая, если в ее точках инвариантные многообразия пересекаются трансверсально, и негрубая - в противном случае (говорят также, что имеет место гомоклиническое касание).
Гомоклинические структуры, открытые Пуанкаре [1] еще в конце прошлого века, в последние десятилетия приобрели особенно актуальное значение в связи с многочисленными задачами точного естествознания, посвященными изучению стохастических колебаний. Как известно, математическим образом таких колебаний является притягивающее множество весьма сложной природы, называемое странным аттрактором. При этом гомоклинические касания могут быть обнаружены в самых разнообразных конкретных семействах систем со сложной динамикой. Так, они существуют в отображении Эно (и вообще - в семействах сильно диссипативных отображений после бифуркационной цепочки удвоения периода), появляются при разрушении инвариантных торов [2, 3] - т.е. при переходе от квазипериодического режима к хаосу, могут быть найдены в моделях ло-
а) с<0, с1<0 Ь) с>0, с1<0 с) с<0, ё>0 ё) с>0, ё>0
Рис. 3. Двумерных диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической кривой с положительными А1 и 71- В случае а) и Ь) мы имеем гомоклиническое касание первого класса мы имеем, в случае с) и й) - второго и третьего соответственно
альные гиперболические подмножества [2-3, 31], однако все Аф ими, вообще говоря, не исчерпывается. Это связано с тем, что на бифуркационных поверхностях систем с кривыми третьего типа имеет место всюду плотная П-негрубость. Так, в [7] установлено, что в множестве таких систем плотны системы, имеющие негрубые периодические движения, счетное число устойчивых периодических движений, негрубые гомоклинические контура.
На рисунке 3 для случая двумерных диффеоморфизмов с положительными А} и 71 приведены различные виды касаний. В случае а) и Ь) мы имеем гомоклиническое касание первого класса мы имеем, в случае с) и с1)
- второго и третьего соответственно
В соответствии с данной классификацией в дальнейшем мы будем выде-