Классификация фазовых портретов оптимального синтеза

• Автор: Хильдебранд, Роланд
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 159 с.

Содержание
Введение
1. Приведение систем к нормальной форме
2. Классификация нормальных форм класса С3
2.1. Критерий существования синтеза
2.2. Вспомогательные утверждения
2.3. Лемма о гиперболической точке
2.4. Особые режимы
2.5. Некоторые свойства системы
2.5.1. Поведение систецэд.црщ Л
2.5.2. Производная отображения' Пуанкаре
2.5.3. Поведение системы при и — 1
2.6. Случай ф Е (|,тг)
2.7. Случай ф Е (п, тт
2.7.1. Построение отображения Пуанкаре
2.7.2. Производные отображения Пуанкаре
2.7.3. Определяющий существование синтеза цикл
2.7.4. Связь между функцией ф и интегралом /тгп
2.7.5. Построение оптимального синтеза
3. Аналитические нормальные формы
3.1. Предварительное исследование
3.2. Синтез с особым режимом
3.3. Синтез со спиралевидной структурой
3.4. Синтез с кривой дисперсии
4. Результаты
Литература

Введение
Данная работа относится к области оптимального управления. Предметом исследования являются аффинные по скалярному управлению системы х = f(x) + ид(х) на плоскости. Здесь и меняется в интервале [0,1], а / обладает особой точкой типа фокуса или центра. Функционал цены квадратический с точностью до членов более высокого порядка. Рассмотрена группа симметрий, ассоциированная с этим классом систем, найдены канонические формы и проведена классификация этих форм.
Вместо того, чтобы исследовать отдельные объекты, в математике часто целесообразнее рассматривать целые классы объектов. Эта точка зрения оправдана существованием групп преобразований, которые переводят разные объекты друг в друга и устанавливают между ними соотношение эквивалентности. Таким образом, идентифицировав в каждой орбите группы преобразований канонического представителя наиболее простого вида, и исследовав эти конкретные объекты, мы получим информацию и о всех других объектах соответствующих орбит. Нахождение и классификация канонических представителей представляет собой одну из наиболее часто встречающихся в математике проблем.
В теории оптимального управления группой преобразований служит группа feedback. В узком смысле термин feedback group зарезервирован для систем, в которых управление может принимать любые значения в вещественном векторном пространстве М". В зависимости от поставленной задачи, однако, рассматриваются и различные подходящие подгруппы группы feedback. Нахождение канонических систем по отношению к группе feedback и их классификация является самостоятельной задачей, которой посвящено много работ.
В 1970 году П. Бруновский [23] расклассифицировал линейные системы по действию группы feedback и ввёл соответствующую каноническую форму, форму Бруновского. Впоследствие классификации линейных систем были посвящены работы многих авторов (см. например [21],[22],[24],[36],[43], [55],[57],[61],[62],[74],[76]). В этих работах эта проблема была сведена к чи-

сто алгебраической конечномерной задаче.
В задаче классификации нелинейных систем группа feedback бесконечномерная, что существенно усложняет ситуацию (см. например [19],[26],[30], [60],[71] и обзор [40]). Смежным вопросом является стабилизация точек равновесия посредством динамического управления (см. например обзор [68]). Особый интерес здесь представляет нахождение орбит линейных систем, т.е. характеризация нелинейных систем, которые могут быть переведены в линейную преобразованием из группы feedback. Для таких систем тогда можно применить аппарат, разработанный для линейного случая. Характеризации линеаризуемости посвящены, например, работы [52],[69],[72]. Локальное условие линеаризуемости сводится к бесконечному набору условий на скобки Ли входящих в правую часть системы векторных полей.
Чтобы не рассматривать бесконечный набор условий, было введено понятие приближённой группы feedback, переводящую системы друг в друга с точностью до членов порядка выше некоторого значения. Условия эквивалентности систем по отношению к приближённой группе feedback были найдены А. Кренером (см. например [49],[50]). Это конечный набор условий на джеты того порядка, который соответствует порядку приближённой группы feedback. Статья [51] представляет обзор по линеазизации и приближённым группам feedback.
Действие приближённой группы на джеты исследовал К. Чон (см. например серию работ [70]—[72]). Он показал, что оно сводится к действию конечномерной группы Ли. В. Канг и А. Кренер исследовали нормальные формы по отношению к действию на джеты второго порядка [44],[53].
Пусть множество допустимых управлений является полиэдром. Тогда множество допустимых фазовых скоростей является выпуклой оболочкой конечного множества векторных полей. Поэтому действие подгруппы группы feedback, сохраняющая множество допустимых управлений, сводится к действию группы диффеоморфизмов на семейства векторных полей. Этот предмет был подробно изучен многими авторами. В этой связи вспоминается серия работ Р.И. Богданова (см. [4]—[6],[17]), где было изучено действие групп диффеоморфизмов различной степени гладкости на векторное поле на плоскости. Подробную классификацию пар векторных полей на плоскости провёл A.A. Давыдов в монографии [25]. Там же рассмотрен и случай более, чем двух, полей. Тесно связанной с вопросами классификации множеств векторных полей является проблема классификации распределений. Этому вопросу посвящёна, например, работа [79]. Дальнейшие результаты по классификации особых точек на плоскости и в трёхмерном пространстве см. например [9],[10],[28],[73].

Доказательство: Имеем + о(1), поэтому нормаль к кривой
р выражается в виде п = (—+ о(г),Т1). Тогда sgn(A, п) = sgn(—АХ2 + И2Х1+о(г2)) = —1, sgn{A+Б,rг) = sgn(—Х2+о(г)) = —sgnт2 Следовательно, траектории систем х = Аи х = А +В трансверсально подходят к р с одной И ТОЙ же стороны, если Х2 > О, И С противоположных сторон, если Х2 < 0. □
2.3. Лемма о гиперболической точке
Известно [1], что диффеоморфизм многообразия в окрестности гиперболической неподвижной точки топологически эквивалентен своей линеаризации вокруг этой точки. В частности, существуют два инвариантных подмногообразия, которые называются устойчивым и неустойчивым усами. Более того, степень гладкости этих подмногообразий равна степени гладкости исходного диффеоморфизма [56].
Следующая лемма задаёт более слабые достаточные условия существования дифференцируемых инвариантных подмногообразий в окрестности неподвижной точки у отображения плоскости в себя. В частности, не требуется дифференцируемости отображения во всей окрестности неподвижной точки. Тем не менее, основные идеи доказательства в [56] переносятся и на наш случай.
Лемма (о гиперболической точке): Пусть М = {(х,у) |я С (0,с], у £ [а,&]}сЫ2 — прямоугольное множество на плоскости, с > 0, а < Ь — некоторые числа. Пусть / = (/х,/у) : М —¥ 11+ х [а, Ь] — дифференцируемая функция. Предположим, что
\тфх(х,у) = 0 V 2/ е [а,Ь], (2.8)
х-чО
и пусть существует такал константа Ь > 0, что выполнены неравенства
Г, > 1 + ЧД11. (2-9) М < 1(1 - £||Д|| - ИДИ), (2.10)

где под нормой подразумевается С-норма. Верхние индексы обозначают компоненты функции /, нижние — частные производные. Тогда существует единственная непрерывно дифференцируемая функция у : (0, с] —> [а, 6], липшицевая с константой Ь, график которой Г(у) = {(т,7(х)) | х £ (0,с]} С М переходит в себя при отображении /.