О задаче Штурма-Лиувилля для уравнений четвертого порядка на пространственных сетях

• Автор: Мустафокулов Рахмонкул
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 273 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ.. 38 §1.Понятие геометрического графа и связанная с ним терминология
§2.Некоторые основные классы функций на графе
§3.Понятия дифференциального уравнения и краевой задачи
на графе
§4.Математическая модель малых деформаций ’’стержневой
решетки”
§5.Основные классы рассматриваемых на графе краевых задач
ГЛАВА Н. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ
§1.Критерий невырожденности краевой задачи на графе
§2.Некоторые качественные свойства скалярного уравнения
4-го порядка
§3.Принцип максимума для уравнения 4-го
порядка на графе
§4.Невырожденность краевых задач для уравнений 4-го порядка на графе
ГЛАВА Ш. ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ
§1.Некоторые основные свойства функции Грина скалярной
краевой задачи на отрезке
§2.Существование функции Грина краевых задач на графе. 119 §3.Основные свойства функции Грина краевых
задач на графе

§4.Функция Грина одной краевой задачи для уравнения 4-го
порядка на простейшем одномерном графе
ГЛАВА IV. ПОЗИТИВНАЯ ОБРАТИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ
§1.Позитивная обратимость краевых задач для уравнения
4-го порядка на отрезке
§2.Позитивная обратимость краевых задач на произвольном
графе из Яп
§3.Позитивная обратимость краевых задач на одномерном
графе Г]
§4.3накопостоянство функции Грина краевых
задач на графе
§5.Некоторые спектральные свойства оператора Г
ГЛАВА V. ОСНИЛЛЯНИОННЫЕ СВОЙСТВА СПЕКТРА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ 4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ
§1.Основные понятия и термины
§2.0сцилляционные свойства спектра задачи на цепочке
§3.Доказательство основного результата
§4.0с.цилляционные свойства спектра задачи на графе. Г из
К71 у в случае линейного распределения массы
ГЛАВА VI. НЕЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ
§1.Некоторые условия разрешимости нелинейной краевой задачи
§2.Положительные решения нелинейной краевой задачи на
графе
§3.Нелинейная спектральная задача на графе
список ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
1°. Математические модели естествознания являются побудителями и источниками большинства разделов современного анализа. Ярким примером тому является задача Штурма - Лиувилля, поставленная Штурмом в начале XIX века в связи с изучением неоднородной задачи рассеяния. Называя результаты Штурма замечательными, Гильберт считал их эталоном успешного проникновения математики в физические проблемы. Доказанные для самосопряженной задачи
—(ри'У + ди — Хти, и(0) = и{1)
результаты Штурма в современных терминах звучат так (коэффициенты р'(-), а) спектр Л описанной задачи состоит из неограниченной последовательности вещественных собственных значений;
б) все точки спектра Л строго положительны и имеют единичную геометрическую и алгебраическую кратность;
Если перенумеровать точки спектра А в порядке возрастания
< Х < А2 < ... и через обозначить соотвествующие
собственные функции (каким-либо образом нормированные), то
в) собственная функция <р0, соответствующая ведущему собственному значению А0, не имеет нулей в (ОД);
г) имеет в (ОД) точно к нулей (к = 1,2
д) нули (рк и (рк+1 перемежаются, т.е. при каждом к между любыми соседними нулями <Рк имеется ТОЧНО ОДИН нуль (Рк+1-

шения у)(х),у2(х) принимают одинаковые значения в каждой из граничных вершин Го, то у(х) — уг{х) на Го-
Во втором параграфе настоящей главы приводятся условия существования положительных решений у нелинейной краевой задачи (0.30), (0.8) на графе Г.
Как известно (см. напр., [25]), одним из способов получения условий существования неотрицательных решений является отыскание тех или иных конусов, инвариантных относительно соответствующих операторо&д, с последующим применением топологических методов теории положительных операторов. На этом пути ранее были получены автором ряд результатов, относящихся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом |, а также к первой краевой задаче для эллиптических уравнений второго порядка [33]. В данной работе эти результаты переносятся на нелинейные краевые задачи на графе.
Теорема 6.5 Пусть выполнено одно из следующих условий: 1) правая часть уроавнепия (0.30) представима в виде
F(x,y) = а(х)у + <р(х,у),
где а(х) е С(Г), а у?(ж,у) равномерно относительно ж 6 Г удовлетворяет условию
lim(jyj-1) <р(х,у)
Ы-*о
и позитивное собственное значение А0 уравнения
A by = а(х)у (х G Г) (0.31)
при краевых условиях (0.8) удовлетворяет условию А0 < 1;