Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной области

• Автор: Сабитова, Юлия Камилевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 133 с.

Глава 1. Нелокальные задачи и задачи на управление для

уравнений гиперболического типа

§1.1. Нелокальная начально — граничная задача I рода

§1.2. Нелокальная начально — граничная задача II рода

§1.3. Нелокальная граничная задача I рода

§1.4. Нелокальная граничная задача II рода

§1.5. Задачи на управление для волнового уравнения

Глава 2. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения эллиптического типа

§2.1. Нелокальная граничная задача I рода

§2.2. Нелокальная граничная задача II рода

Глава 3. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа

§3.1. Нелокальная граничная задача I рода
§3.2. Нелокальная граничная задача II рода
§3.3. Нелокальная граничная задача I рода в полуполосе
Библиографический список

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми [65] и С. Геллерстедта [77]. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, JI. Ниренберга, М. Прот-тера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты полученные ими и их последователями приведены в монографиях A.B. Бицадзе [6], [9], JI. Берса [5], К.Г. Гудейлея [13], Т.Д. Джураева [14], М.М. Смирнова [57], [58], Е.И. Моисеева [35], К.Б. Сабитова [53], М.С. Салахитдинова [54].
Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф. И. Франкля [67], A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [7], В.А. Ильина,

Е.И. Моисеева [18], [19], Н.И. Ионкина [26], В.И. Жегалова [15]—[17], А.И. Ко-жанова [29], А.М. Нахушева [41], JI.C. Пулькиной [44], [45], O.A. Репина [46], [47], A.JI. Скубачевского [56], А.П. Солдатова [61] и других.
Особо выделим работу A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [7], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.
М.Е. Лернер, O.A. Репин [33] в полуполосе D — {и(х,t/)|0 < х < 1,у > 0} изучили задачу: найти функцию и(х, у) со свойствами:
и{х,у) е С(П) П CD U {х = 0})ПС2(£>);
У 41хх 4” 41уу — б) (•£) у) € Л, тп 1,
и(х, у) -» 0 при у -+ +оо равномерно по ж € [0,1];
ix(0, у) - и( 1, у) = ipi(y), их(0, у) = ip2(y), У > 0;
и(х, 0) = т(ж), 0 < х < 1,
где т(ж), <^i(y), ц>2{у) — заданные достаточно гладкие функции, причём т(х) ортогональна к системе функций 1, cos(2n + 1)7гж, п = 0,1,2,
В другой работе [34] ими исследована аналогичная задача в полуполосе D для уравнения
ихх + иуу + (2р/у)иу -Ь2и = О, b > 0, р е R, (0.1)
при условии ¥>i(y) = 0 и <р2(у) = 0. В этих работах на основании принципов экстремума доказана единственность. Методом разделения переменных и интегральных преобразований установлена разрешимость рассматриваемой задачи.
Е. И. Моисеев в [36] изучил аналогичную нелокальную краевую задачу в полуполосе D для вырождающегося эллиптического уравнения:
У Ч^хх + Ч1уу — 0, тп 2,

un(T) = 41 ф{х)( 1 - х) cos(27xnx)dx = V’in- (1.89)

Общее решение уравнения (1.32) имеет вид (1.38). Пользуясь леммой 1.1 и условием, что Ji_(pnTq) ф 0, удовлетворим (1.38) граничным условиям (1.88)
2 q
и (1.89). Тогда найдём постоянные ап и Ьп
Ьы = -Р±, (1.90)
2 Q&n
аы = Фы - МТ) + pLYi_(pnT (1.91)
Zqa,i 2« 2«
Подставив (1.90) и (1.91) в (1.38). Тогда единственное решение задачи (1.32), (1.88),(1.89) определяется по формуле
Jl/2q(PnTq)VT
Из формул (1.85), (1.87), (1.92) следует единственность решения задачи
(1.74) — (1.77), так как если т(х) = 0, ф(х) = 0 на [0,1], то ип(у) = 0, щ(у)
0, г»п(т/) = 0 при любом п € N на промежутке [0,Т]. Тогда из (1.78) - (1.80) имеем:

4 J и(х,у)(1 — я) cos(2Tmx)dx = 0, п = 1,2, ... , о

2 J и(х, у)(1 — х)с&г = 0,

4/ф,,)-Мх.0,п = 1,2,
Отсюда в силу полноты системы (1.7) в пространстве Li[0,1] следует, что функция и(х, у) = 0 в Q. Тем самым доказана следующая Теорема 1.5. Если существует решение задачи (1-74) ~ (1-77), то оно единственно только тогда, когда Ji/2q(pnTq) ф 0 при всех п.