О гладкости решений и условиях локализации спектральных разложений для операторов с постоянными коэффициентами

• Автор: Айеле, Тсегайе Гедыф
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Список основных обозначений
' Общие обозначения в диссертации
Глава I. Описание условий частичной гиппоэллиптичности линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в терминах фундаментальных решений
1.1. Постановка задачи и формулировка результата
1.2. Основные определения и леммы
1.3. Описание условий гипоэллиптичности в терминах фундаментальных решений
1.4. Описание условий частичной гипоэллиптичности линейных дифференциальных операторов в терминах фундаментальных решений
Глава II. Пространства обобщенной гладкости в задаче о суммировании спектральных разложений
2.1. Постановка задачи и формулировка результата
2.2. Обоснование свойств локализации
2.2.1. Предварительные сведения
2.2.2. Представление Ф - средних спектрального разложения финитной функции
2.2.3. Оценка величины Дд(/г
2.2.4. Оценки Ф - средних спектрального разложения

Глава III. Повторные нормы в пространствах типа Никольского-Бесова с обобщенной гладкостью
3.1. Определения пространств и их общие свойства
3.2. Определение повторных норм в пространствах типа Никольского-Бесова с обобщенной гладкостью
3.3. Постановка задачи и формулировка результата
3.4. Свойства повторных норм
Литература

ВВЕДЕНИЕ
В диссертации исследуется гладкость решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в терминах свойств фундаментального решения; влияние свойств гладкости разлагаемых функций в задаче о локализации спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа. Для возникающих в этих задачах пространств обобщенной гладкости рассмотрена также задача о повышении гладкости в связи с использованием повторных норм.
В теории линейных дифференциальных операторов важную роль играет подход к исследованию гладкости решений с помощью свойств фундаментального решения. Он был развит в фундаментальных исследованиях Л. Гординга, С. Лоясевича, Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хер-мандера и других авторов и связан с регулярным использованием в этих задачах теории обобщенных функций. Одним из основополагающих результатов этой теории была теорема о существовании фундаментального решения из пространства V обобщенных функций, полученная Б. Маль-гранжем и Л. Эренпрайсом, установленная затем Л. Хермандером и С. Ло-ясевичем в рамках теории пространства 5' распределений Л. Шварца. В связи с этими результатами актуальной представляется задача об описании свойств гладкости решений дифференциальных уравнений в терминах поведения фундаментальной функции соответствующего оператора. Л. Хермандером [27] были установлены критерии эллиптичности и гипоэллиптичности операторов в терминах свойств фундаментального решения. Однако для рассмотренных в работах Л. Гординга и Б. Мальгранжа частично гипоэллиптических операторов подобное описание не было известно. Его получение представляет собой актуальную задачу теории дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, рассмотренную в диссертации.

Функция /(ж - у)г](у)ф(х) е Т>{Е2"). Мы считаем, что если один из множителей равен нулю, то и все произведение равно нулю, даже если f(x — у) не определено, т.е. х — у € С. Тогда
(9(у), I /0» ~ У) У {У) Ф) dx)= J (д(у), у(у) f(x - у) <р(х)) dx

{д(у), у{у) f{x - у) ф)) dx.
supp (р
Поскольку х G supp 9, у(-) f{x - ) G Т>(Е"), тогда значение {д{у)тУ(у) fix ~ У)) определено, следовательно
(9(у)Му)Ф-У)Ф)) = (i9(y)iy(y) fix - у)),ф))- (1-12)
Таким образом,
if*9, supp у?
= / (д(у),у(у) fix ~ у) Ф)) dx = i(g(y),r}{y) f(x - у)),ф)).

Мы считаем, что вне носителя 9 функция [д{у), у(у) f{x — у)) доопределена, например, нулем, так как равенство (1.9) справедливо для любых функций <р таких, что supp 9 С 1" ((supp д)7 + G). Тогда на M.n ((supp g)~t + G) имеет место равенство
(/ * д){х) = {g{y),y{y)f{x - у)).
Так как для х 6 Ш.п ((supp д)"1 + G), т}(-) f(x — ) 6 (д(у), y(y)f(x — у)) G C°°(lRn (supp д ф- G)). Лемма доказана.
Следствие 1.3. Если G = {0}, тогда получим лемму 1.5.
Доказательство теоремы 1.
Необходимость. Пусть оператор Р частично гипоэллиптичен относительно плоскости х" — 0 и £ его фундаментальное решение, тогда