Ограниченные и периодические решения систем уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными

• Автор: Воситова, Дилором Абдурасуловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Худжанд
• Количество страниц: 114 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I, Вспомогательные утверждения. Постановка задачи
§1.Основные функциональные пространства и операторы
§2. Некоторые интегральные операторы и их основные свойства
§3. Некоторые свойства решений систем уравнений с частными производными
§4. Постановка задачи
Глава II. Умеренно растущие решения систем уравнений с частными
производными с двумя независимыми переменными
§1. Разрешимость эллиптических систем в пространстве Я'
§2. Полиномиальные решения эллиптических систем
§3. Многообразие решений одного класса систем
Глава III. Ограниченные во всей плоскости решения эллиптических
систем первого порядка
§1. Нётеровость одного класса эллиптических систем в гёльдеровых пространствах
§2. Принцип экстремума для одного класса эллиптических систем
§3. Периодические решения систем
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Основополагающими работами в теории уравнений с частными производными с двумя независимыми переменными и систем таких уравнений являются работы С.Н. Бернштейна, И.Г. Петровского, М.А. Лаврентьева, И.Н. Векуа, Л.Г. Михайлова, Л. Берса, А.Д. Джураева, их учеников и последователей (см., например, [1, 14, 15, 16, 17, 21, 39, 41, 47, 66, 85, 86, 91, 94]).
Одной из актуальных проблем в теории уравнений и систем уравнений с частными производными с двумя независимыми переменными представляется исследование задач о решениях, принадлежащих пространствам функций, определенных во всей плоскости и удовлетворяющих условиям типа ограниченности, периодичности, степенного роста и др. Задачи об ограниченных во всей плоскости (полуплоскости) решениях и решениях степенного роста, т.е. решений, определенных во всей плоскости (полуплоскости) и растущих на бесконечности не быстрее степенной функции, указанных систем относятся к классу сингулярных задач и, как правило, могут быть не нётеровыми.
Вопросам о решениях, определенных во всем пространстве (полупространстве) изменения независимых переменных, уравнений и систем уравнений с частными производными посвящены работы В.С. Виноградова, Э. Му-хамадиева, С. Байзаева, В.П. Паламодова, Н.Е. Товмасяна, Д. Сафарова, А.П.Солдатова, М. Отелбаева, К.Н. Оспанова, А.И. Янушаускаса и др. (см., например, [2, 4, 13, 18, 20, 22, 23, 30 - 34, 36, 40, 42, 45, 46, 49 - 52, 54 - 64, 68 — 83, 87, 90, 93, 94]). Здесь получены ряд важных результатов, связанных с построением соответствующих решений и вычислением размерности пространства этих решений, нахождением критериев нормальной разрешимости, нётеровости и вычислению индекса рассматриваемых задач и др.
Исследование задач о решениях, ограниченных во всей плоскости и решениях степенного роста новых классов систем уравнений с частными производными с двумя независимыми переменными представляется важной и актуальной.
В диссертации рассматриваются системы линейных уравнений с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными вида
А, (х, у)их + А2(х, у)иу + Аъ(х, у)и = Р(х, у), (1)
где II-(и,, и2,..., ип)т-искомая вектор-функция, Л{(х, у), Л2(х, у),
А3 (х, у) - вещественные матрицы порядка п, Р - /2,..., /п)‘ -заданная
вектор-функция, а также исследуется эллиптическая система вида
Ьм> = + А(г) У? = / (г), (2)
где -№ = (4/^ и’2,..., и:л)у -искомая комплекснозначная вектор-функция, Л(г) -комплексная матрица-функция порядка п, / = (/,, /2,..., /„)г - комплекснозначная вектор-функция.
Через Са обозначим банахово пространство комплекснозначных функ- ■ ций ^>(2;), ограниченных и равномерно непрерывных по Гёльдеру во всей комплексной плоскости С с показателем а е (0,1) с нормой
N1« =!ШР| 0)| + ЯаО)>

наО) = -22~ам>(г1)--м(22),

а через С — банахово пространство функций м>(г) такие, что м, г, ч':, е Са с нормой
Такие же обозначения будем использовать и для пространств вектор-функций.
Для систем вида (1) в случае постоянных коэффициентов исследуются следующие задачи и вопросы:
- найти многообразие всех решений;
- найти многообразие решений из пространства б";

§ 2. Полиномиальные решения эллиптических систем
Рассмотрим для эллиптической системы (1.5) задачу о полиномиальных решениях, то есть о решениях, определённых во всей плоскости и удовлетворяющих условию
где I и I = | и, | + [ и2|, N — целое неотрицательное число, К - постоянная, зависящая от и.
Многообразие таких решений образует линейное вещественное пространство, которое обозначим через Р}.. Так как Рх с 5', то для определения Р„ будем использовать результаты первого параграфа.
Рассмотрим три возможных случая: 1) беї:В < 0; 2) бе^ = 0; 3) бе1.5 > 0.
Случай 1. ПустьбЩ5 < 0. В этом случае в силу теоремы 1.3 система (1.5) в пространстве 5' имеет только нулевое решение и(х, ;>) = 0. Следовательно, пространство Рм является нулевым.
Случай 2. Пусть бе1;і? = 0. Согласно теореме 1.3 пространство Ры состоит из многочленов относительно х, у порядка не выше N.
Для нахождения коэффициентов этих многочленов удобнее решение системы (1.5) искать в виде однородных по х, у форм :
где Р. (х, у) ~ рк]х] кук ; рк] -векторы из Я2. Подставим эти выражения в
и(х, у) I <.£(! +1x1" +|з>|*),
и(х,У) = Цр,(х,у)

систему (1.5)
(2.1)
Вначале рассмотрим случай В Ф 0. Из (2.1) имеем ВРХ = 0, то есть