Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений

• Автор: Ершов, Александр Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 98 с.

§4. Доказательство теоремы 3.
Заключение
Список литературы
Список иллюстративного материала

Введение
Актуальность работы. Математические модели физических явлений в электродинамике, акустике, теории упругости и т.п., описываются при помощи краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Все краевые задачи можно условно разделить на регулярные (см. [39]) и сингулярно возмущенные. К последнему типу задач относятся краевые задачи в областях с малыми отверстиями, задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границе, краевые задачи в перфорированных областях и другие.
Значительный вклад в исследование сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, В. В. Жиков, А. М. Ильин, J1. А. Ка-лякин, О. А. Ладыженская, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, В. Ю. Новокшепов, О. А. Олейник, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев,
D. Gomez, R. Hempel, С. Leal, Sh. Ozawa, J. Sanchez-Hubert и многие другие (см., например, [1], [2], [3], [4]-[7], [65], [8], [10], [11]-[22], [66], [67], [23], [31], [32]—[36], [38], [40], [44], [45], [46], [48], [49], [51]-[53], [71]-[73], [56], [76], [58], [60], [62], [63], [68], [69], [70], [74], [75], [77], [78]).
В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Лапласа с граничным условием, изменяющимся на малых участках. Такие задачи возникают, например, в электротехнике в связи с необходимостью учёта контактного сопротивления в случае малого сечения контактов.
В диссертации исследованы поведения решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего размер участков из-

и(х, е) = У2 е’уЗ] (-) е) , ^2 ^ Ме13,
3=0 £

щ(х, е) =(г - В0(е)) 1п -+

Л-{7, — £)0(е)) 1п2 + £^о,о + 9(х) + Дз(е) (д2(х) — 1п [О1О21), у0(^е) =щ(0 + {%№,Ф) ~ А>(е)) Ь|С{ + д/С| - 1|>
и>0(г1, е) =щ(г/) + £>0(е) Ь
а остальные функции щ € С°°(0, {01 и 02}),
Ч е ({£ : 6 ^ 0}аг0 П С ({£ : ф > 0}),
Щ € С°° ({г, : ц2 > 0}аГ2) П С {{г, : щ > 0}).
Также приведен алгоритм последовательногопостроениягц, и методом согласования асимптотических разложений. Заметим, что хотя асимптотические коэффициенты щ(х, е), У](х, е) и Wj(x, е) также зависят от е, но это это более слабая зависимость — все они являются рациональными функциями от 1пе. Также заметим, что почти во всей области О., кроме
двух малых окрестностей точек 0, 02, решение задачи в самом главном £->о 2(С1,-ф),
ведёт себя как щ (х, е)
■ 1п ■