Новые классы решений уравнений идеальной несжимаемой жидкости

• Автор: Шанько, Юрий Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 83 с.

Содержание
Введение
1 Классификация одномерных и двумерных подалгебр, допускаемых уравнениями Эйлера
1.1 Основные понятия и схема классификации подалгебр
1.2 Построение оптимальной системы подалгебр алгебры Lq
1.3 Построение квазиоптимальной системы в
1.4 Классификация двумерных подалгебр, лежащих в идеале Loo
1.5 Классификация двумерных подалгебр имеющих одномерное пересечение с идеалом
1.6 Классификация двумерных подалгебр имеющих тривиальное пересечение с идеалом
1.7 Факторсистемы, порожденные одномерными подалгебрами
2 Точные решения уравнений Эйлера
2.1 Некоторые классы решений ранга
2.1.1 Решения инвариантные относительно группы, порождаемой
операторами Ya= i и £?=1 i
2.1.2 Некоторые решения инвариантные относительно подалгебры {.Xi,Xi+ 4}
2.2 Стационарные осесимметричные течения с закруткой
2.2.1 Функционально-инвариантные решения
2.2.2 Течения стратифицированной жидкости со свободной границей
2.2.3 Примеры функционально-инвариантных решений
2.2.4 Некоторые другие точные решения
3 Двумерные стационарные течения стратифицированной жидкости

3.1 Функционально-инвариантные решения
3.2 Течения стратифицированной жидкости со свободной границей
3.3 Некоторые классы точных решений
3.4 Построение функционально-инвариантных решений
3.5 Классификация решений, допускающих обобщенное разделение
переменных
Литература

Введение.
Настоящая работа посвящена проблеме построения точных решений уравнений Эйлера идеальной жидкости. Нахождением решений уравнений Эйлера занимались многие известные математики. Большое число таких примеров имеется в классических монографиях и учебниках [1, 2, 3]. Одной из последних книг, целиком посвященных данной проблеме, является монография [4]. Точные решения имеют значительный теоретический интерес, поскольку они могут описывать разнообразные физические явления и служить в качестве тестов для вычислительных экспериментов.
Построение решений представляет сложную математическую проблему. Одним из основных инструментов исследования этой проблемы является групповой анализ дифференциальных уравнений [5, 6, 7, 8]. Применение некоторых элементов теории групп в гидродинамике началось, по-видимому, с книги Г. Бир-кгофа [9]. Однако систематические исследования групповых свойств уравнений механики сплошной среды началось после выхода работ Л.В. Овсянникова [5, 6].
С тех пор были вычислены допустимые группы, найдены инвариантные и частично-инвариантные решения для различных уравнений математической физики, обнаружены новые применения групповых методов [6, 7, 10, 11].
Достигнутые успехи привели к необходимости более глубокого изучения теоретико-групповых свойств дифференциальных уравнений. В связи с этим Л.В.Овсянниковым выдвинута программа ПОДМОДЕЛИ [12, 13]. Одной из целей данной программы является построение существенно различных редуцированных систем для математических моделей механики сплошной среды. Этг проблема фактически сводится к сложной алгебраической задаче нахождение

Подалгебра {Х2,Х4,Х5,Хе} не может иметь прообразов при отображении т.
Прообразом подалгебры {Х1,Х2,Х3,Х4} будет подалгебра вида кХ 1 + к2Х2 + к3Х3 + к4Х4 + Е,=1 <с*>г}. Рассмотрим 3 случая: к3 ф 0; к3 = 0, к4 ф 0; к3 = к = 0. В первом случае, подействовав автоморфизмом А приведем подалгебру к виду {< щ >1,к2Х2 + к3Х3 + к4Х4 + Е£=1 < с,г >г}. Дальнейшее рассмотрение сводится к уже изученной подалгебре к2Х2 + к3Х3 +
к4Х4 + £4=1 < с'г >«}, если положить в ней д = 0. В результате получим подалгебры {<1 >1,Х3 + к2Х2 + к4Х.4} (к4 > 0) {<1>х,Х3 + Х2 + к'4Х4-- <> 1} (к4 > 0). В третьем случае имеем подалгебру {<Пх >4,к2Х2 + к4Х4+ Е;=1 <с‘>г}, которая совпадает с прообразом подалгебры {Х2, Х4} при Ъ1 = щ. Осталось рассмотреть второй случай: {<пх>х, к4Х4 + к2Х2 + к4Х4 + Е|=1 <сг>Д. Действуя автоморфизмами С4, С2, С3, С4 и делая замену базиса, получим подалгебру {< 1 >1 + < 6м >4,61 + к'2Х2 + к4Х4}. Из УП следует, что Ъ'4 = к'2Ь4, откуда Ь14 = п4ек'. Пусть к'2 ф 0. Действуя автоморфизмом СДтхе), получим подалгебру {<1>1 + <6//4>4,Х1 + к'2Х2 + к!4Х4), где Ь"4 = (п4 + тфк'фе1. Выбрав гщ = —п4/(к'2)21 получим подалгебру {< 1>1, АД + к2Х2 + к4Х4}. Если к4 ф 0, то действуя автоморфизмами А3, А3 и делая замену базиса, получим подалгебру П29 = Хх + к2Х2 + Х4]. При этом можно считать, что к” > 0, так как знак
у к2 можно изменить действием автоморфизмов А3, А$ и заменой базиса. Если же к4 — 0, то действуя автоморфизмами А3, А3 и делая замену базиса, получим подалгебру П30 = {< 1 >1, Ах + Х2}- Пусть теперь к'2 = 0. Если п4 = 0, то мы имеем подалгебру {<1>1,Х1--к'АХ4}. Если к'4 ф 0, то действуя автоморфизмами А3, Ад и делая замену базиса, получим подалгебру {<1>х,Хх + Х4}, которую можно получить из подалгебры {< 1 >х, Хх + к2Х2 + Х4}, если положить в ней к2 — 0. Если к4 — 0, то имеем подалгебру П3х = {<1>х,Хх}. Если же п4 ф О, то подействуем на подалгебру автоморфизмом Сфтф2). Получим подалгебру {< 1 >х + <6//4>4,Хх + к4Х4- <2тф>1 + <с'4>4}, где Ъ"4 — п4 + 2т4. Выбирая т4 = —п4/2 и действуя автоморфизмом С4, приведем подалгебру к виду {< 1 >х, Ах + к4Х4— <2тх>х}, (т4 ф 0). Если к4 ф 0, то действуя автоморфизмами А2, А2, А3, Ад, приведем подалгебру к виду О32 = {<1>х,Хх+Х4+ <£>х}, а если к'4 = 0, то действуя автоморфизмами А2, А2 и делая замену базиса, при-