Резонансные краевые задачи и вариационные неравенства эллиптического типа с разрывными нелинейностями без условия Ландесмана-Лазера

• Автор: Чиж, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 118 с.

1 Предварительные сведения

1.1 Обобщенные производные. Пространства Соболева и

теоремы вложения для них

1.2 Секвенциальное замыкание локально ограниченных операторов и его свойства

1.3 Топологическая степень для многозначных компактных

векторных полей

1.4 Вариационный метод

2 Резонансные эллиптические краевые задачи с разрывными нелинейностями без условия

Ландесмана-Лазера

2.1 Вспомогательные результаты

2.2 Постановка задачи и основные определения

2.3 Формулировка основных результатов
2.3.1 Резонанс слева от Ах
2.3.2 Резонанс справа от Ах
2.4 Операторная постановка задачи
2.5 Доказательство основных результатов
2.6 Примеры
3 Эллиптические вариационные неравенства
с разрывными нелинейностями в случае резонанса без условия Ландесмана-Лазера
3.1 Постановка задачи и формулировка основных результатов

3.2 Вспомогательные результаты
3.3 Доказательство теорем 3.1.1 и 3.1.2
3.4 Доказательство теоремы 3.1.3
3.5 Пример
Список литературы

Предметом исследования диссертации являются резонансные уравнения и вариационные неравенства эллиптического типа с разрывными нелинейностями.
Пусть О - ограниченная область в Жш с границей сЮ класса С2,/1, О < ц < 1,
т о о
Аи{х) = - ^ + а0(я)и(ж) (0.1)
4.7=1 *
- равномерно эллиптический дифференциальный оператор на О (т.е.

существует константа х > 0 такая, что ^ Ж ХІ£|2

Є Жт, Ух Є О) с коэффициентами ау Є С1,,'(Г2), ау(ж) = ар(х)
V ж Є (1 < г,і < т), оо Є С0,,'(П), ао(ж) > 0 на •
Основные результаты диссертации относятся к проблеме существования сильных и нолуправильных решений следующих задач:
1. Задача Дирихле
Аи(х) — /(ж,и) = /і(ж), ж Є О (0.2)
ніш = 0, (0.3)
где /г Є Ь9(П), д > т, а нелинейность / имеет вид:
/(®,0 = А^-5(®,0 УжбП, У£'єМ,
Ах- наименьшее собственное значение оператора Л с граничным условием (0.3), функция <7 удовлетворяет следующим ограничениям:
то любое решение задачи (2-4) -(2.5) принадлеэ/сит Кег(А — \1). Доказательство леммы 2.1.2. Пусть р± £ Ь9(П) удовлетвори-

ют (2.7) и и € АУ2(12)Л (Г2) - решение (2.4)-(2.5). Так как для
функций Г± верно неравенство (2.6), то
/ (а + р+)и?дх + I (а + р-)ш2с1х > 0 (2.8)
«/а;>0 */а»<0
для всех и € Кег(А — Аг/) {0}.
Определим функцию д : П х М —> М следующим образом:
9(я.О
Р+(х), £ >
^Р-(х), £ < 0.
Следовательно, для почти всех а: € О и всех ^ € М
Аг - А2 = -а < д(х,£) < 0. ' (2.9)
Тогда д(х, и(х))и(х) = д(х, и)и+—д(х, и)и~ = р+(х)и+(х)—р-(х)и~(х) п.в. на Г2 и уравнение (2.7) перепишется в виде
Аи{х) — А 1н(а:) + д(х, и(х))и(х) = 0. (2-Ю)
Пусть II = Кег(А — Ах/), а Н(- - ортогональное дополнение
О О
к #1 в Ь2(П), пересеченное с АЛ^2 (П). Тогда любое и €\^2 (П) однозначно представляется в виде и(х) = и(х) + ги(х), где и € Н, а ги £ Яф

Пусть н (£2) Л ¥2(П) удовлетворяет уравнению (2.4), и = V + ш, V € Яь гн € Я^. Тогда