Двусторонние дифференциальные и дифференциально-функциональные неравенства и их применение

• Автор: Охрончук, Виталий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 145 c. : ил

Важным пунктом аналитических методов исследования вопросов качественной теории уравнений является проблема оценки решения уравнения.При оценке решения важная роль принадлежит теоремам типа теорем С.А.Чаплыгина.Применения такого рода теорем в качественных методах весьма разнообразны.Как отмечает Н.В.Азбелев [13],такие теоремы используются,например,при исследовании вопросов существования и единственности решений уравнений,непрерывной зависимости от параметров,при выборе начальных приближений и т.д.
Оценки,полученные из т&орем о дифференциальных неравенствах, привели к значительным результатам в качественной теории уравнений. Т .Важевский,В.В.Немыцкий,М.А.Красносельский и С.Г.Крейн" отмечали, что более общие и глубокие теоремы о дифференциальных и интегральных неравенствах должны привести к дальнейшему развитию качественных методов.
Среди большого количества итеративных процессов выделился широкий класс двусторонних процессов,которые монотонно снизу и сверху аппроксимируют искомые решения уравнений.
С.А.Чаплыгин на основе установленных им теорем о дифференциальных неравенствах[97]построил новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений,обладающий квадратичной сходимостью.
Исследование академиком Н.Н.Лузиным[60]метода С.А.Чаплыгина послужило началом для многих исследований этого метода и его многочисленных применений к уравнениям высшего порядки и системам уравнений.
Н.Н.Лузин в своей работе[60]отмечает важный результат Б.Н.ПЕ-трова[80] о неприменимости теоремы С.А.Чаплыгина для некоторых
нелинейных уравнений второго порядка и ставит вопрос о промежутке применимости указанной теоремы к системам уравнений первого порядка.В работе Н.В.Азбелева и др.18]содержится пример системы двух уравнений первого порядка,к которым теорема С.А.Чаплыгина не применима.Исследованием метода С.А.Чаплыгина и определением промежутка его применимости в различных видах уравнений занимались многие.Важные результаты,полученные при решении этих вопросов, содержатся в работах Н.В.Азбелева[1-5],Н.В.Азбелева и Л.З?.Рахматуллиной[6,7], Н.В.Азбелева и З.Б.Цалюка[9-14] ,Б.Н.Петрова [79,80] ,Б.Н.Бабкина[19] ,Я.Д.Мамедова[б2-64] ,С.Н;Слугина [85-87] и др.Из зарубежных авторов в: первую очередь следует отметить работы Й.Шарского[І26] ,В.Вальтера[іЗО,ІЗЇ] ,Т.Важевского [132] ,В.Лакшмикантама и С.Леелы]ПЗ] ,К.0леха[П7].
Приведем известную теорему С.А.Чаплыгина для дифференциального уравнения первого порццка: пусть функция І(4,Х) непрерывна на промежутке [ О, Т] по совокупности переменных,функции Х(0 и £.(•£) непрерывно дифференцируемы на промежутке [о/ Т] , ОС СО -решение уравнения

Х'ш--Н*,хсп),

а £(■£) удовлетворяет неравенству

Яі, ус»)
причем у (о) ~ЭС( о/ .Тогда ^(0 7Х(-С) на всем промежутке [&, 7[/.
Если ЭСС+) , вектор-функции,т.е. уравнение
Х-'(0 ~ /X.) представляет систему уравнений,то теорема
С.А.Чаплыгина на всем промежутке,вообще говоря,не верна.Более того,без каких-либо ограничений на функцию Н^/Х) теорема может иметь "нулевой промежуток" применимости,т.е,вообще не верна [8], Одним из условий применимости теоремы для системы уравнений являются условия Камке-Важевского,так называемая внедиаго-

нальная монотонность: для уравнения
Функция _[4- не убывает по: переменным Хк , .В случае Ос ({) £ £] /О, X): [ О, Т] *£ -+ £ ,где £ -банахово пространство, задача еще усложняется.Установлению достаточных условий для выполнения теоремы С.А.Чаплыгина в банаховом пространстве с конусом посвящены работы Н.В.Азбелева,В.Вальтера/131] ,Фолькмана [128,129],Я.Д.Мамедова[63]и др.Многие известные доказательства теорем о диффференциальных неравенствах используют интегральные неравенства.Достаточные условия для выполнения интегральных неравенств содержатся в работах Н.В.Азбелева и З.В.Цалюка/см.напр. [9,12,13] /,В.А.Бондаренка/23,24] ,Ю.В.КОмленка и Л.В.Чичкина/39], П.П.Логинова[55,5б],Я.Д.Мамедова и др. [б2?66] ,а также в работах зарубежных авторов [103,111,113,126,127,130,135].Аналогичными вопросами для интегро-дифференциальных уравнений занимались Т.Аманкулов[15] ,Ю.В.Комленко[36] ,В.С.Ручинский/82,83] и другие. Следует отметить монографии Я.Д.Мамедова[63,64],Н.С.Курпеля и Б.А,Щувара[51] ,В.Вальтера[130],В.Лакшмикантама и С.Леелы/ИЗ], Р;РАбчука [120]»которые содержат важные результаты исследований дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных неравенств.
Выделился класс неравенств,обобщающих результат Гронуолла, опубликованный им в 1918 г.[107],и Веллмана,и известный под названием леммы Гронуолла-Беллмана.Такие неравенства применяютя при оценке решений в теории устойчивости.Среди многочисленных обобщений леммы следует отметить работы К.Г.Валеева[25]»В.Н.Лаптин-скогц[52],а также работы зарубежных авторов [97,99,101,102,114, 116,118,122,134]
В последние годы особенно появилось значительное число работ

При любом выборе (X и & псглучаем 1ъ < {
§ 5, Исследование процесса двусторонних
приближений для интегрального уравнения
Процесс последовательных приближений исследовался в работе Ю.В.Комленко /37J для уравнения

в предположении ,чшо
K(l,S,X)--£(t,S,X) ttnft'SrX),
-K(t,s,x)-- P(t, S'-X)
где функции Иъ, P/ 2- непрерывны И: не убывают по эс / -X./.Пространство - Р7- мерное.В настоящем параграфе исследуется итеративный процесс при иных предположениях.
Рассмотрим уравнение

XW-/W + IK(i)^X(S),X(S))c/s , /1,5.1
/■ в [OfT ] X[-(r)eE ! J-(t) G £ непрерывные,
U, IX ) : [Otrjx [О, TJ X2 *Е “> В непрерывная пот совокупности переменных,не убывает по: VL и: не возрастает по: iX- ; В - правильно полуупорядоченное банахово пространство.
I. Пусть непрерывные на промежутке [О/Т] функции Ыа [4]
1А (4) е В удовлетворяют неравенствам

ЫоЩЦщВКЛ^Р, ВД, Л (!)) Ps,
° /1.5.2/