Неравенства Гамильтона-Якоби в задачах оптимального управления дискретно-непрерывными системами

• Автор: Сорокин, Степан Павлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 154 с.

Оглавление

1.2.3 Модифицированные достаточные условия Каратеодори
1.3 Бипозиционные Г-функции и канонические условия оптимальности
1.3.1 Оценки и точное описание интегральных воронок
1.3.2 Оценки множества соединимых точек
1.3.3 Необходимые и достаточные условия оптимальности
1.4 Анализ достаточных условий оптимальности
1.5 Условия оптимальности с бипозиционными А-функциями в
неклассической линейно-квадратичной задаче оптимального управления
1.6 Производящие функции и нестандартная двойственность
1.7 Примеры
Введение
0.1 Монотонные Ь -функции: определения и критерии в форме неравенств Гамильтона-Якоби
1 Бипозиционные решения неравенств Гамильтона-Якоби классической задаче оптимального управления
1.1 Постановка задачи
1.2 Канонические достаточные условия оптимальности. Сравнение с альтернативными подходами
1.2.1 Базовые К-достаточные условия оптимальности
1.2.2 Модифицированные достаточные условия Кротова с множеством Г-функций
2 Канонические условия оптимальности в задачах управле-
ния дискретно-непрерывными системами
2.1 Постановка задачи
2.2 Необходимые и достаточные условия оптимальности с бипо-зиционными Ь -функциями
2.3 Достаточные условия в форме принципа максимума Понтря-гина
2.4 Макроэкономическая модель оптимизации перехода к новой технологии
2.5 Связь общих достаточных условий оптимальности с биэкстремалями системы и принципом максимума Понтрягина
2.6 Теоретические приложения, обобщения и примеры
2.6.1 Задачи с разрывной зависимостью по времени
2.6.2 Исследование экстремалей с разрывным управлением
2.6.3 Использование производящих функций
3 Монотонность, достижимость и оптимальность в задачах управления дискретными системами
3.1 Монотонные Ь -функции для дискретных систем
3.2 Внешние оценки множества соединимых точек ищх заточные... |

условия оптимальности
3.3 Анализ достаточных условий оптимальности и примеры
3.4 Достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума
3.5 Необходимые условия оптимальности со слабо монотонными и производящими функциями
3.5.1 Применение слабо монотонных Ь-функций
3.5.2 Производящие функции в задаче оптимизации, линейной по состоянию
3.6 Оптимизация дискретно-импульсных систем
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Актуальность работы. Дискретно-непрерывные динамические системы различной природы (составные, многоэтапные, импульсные) в последнее время стали объектом пристального внимания специалистов по динамике систем и оптимальному управлению. Объясняется это богатыми приложениями в механике, робототехнике, оптике, экономике, экологии и в других областях науки, которые потребовали применения сложных моделей, объединенных собирательным термином «гибридные». Системы этого широкого класса характеризуются наличием двух типов динамики — дискретной и непрерывной, и являются интересными с точки зрения математических свойств. Данная работа посвящена качественному исследованию задач оптимального управления дискретно-непрерывными системами.
Необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина (ПМ) для различных классов гладких дискретно-непрерывных задач оптимального управления были получены в целой серии работ. Их систематическое изложение дано в монографии Л.Т. Ащепкова [9]. В ней в качестве базовой модели выбрана задача оптимального управления с промежуточными (многоточечными) фазовыми ограничениями. Она оказалась достаточно удобной и универсальной не только для дискретнонепрерывных задач динамической оптимизации, но и для задач оптимизации разрывных систем. На это впервые обратил внимание В.В. Беличенко; в указанной монографии этот факт последовательно раскрыт и реализован. Отметим, что в ней (и во многих других работах) доказательство ПМ основано на довольно трудоемкой технике многоточечного иголь-

то указанные р тривиально удовлетворяют уравнению Гамильтона-Якоби дополненной системы (являются её первыми интегралами) и, следовательно, сильно возрастают. Из этого множества Г-функций, как обычно, сначала попробуем простейшую — в (у) = у, т.е. полагаем р(х,ь)) = г](х,т). Соответствующая концевая задача (ЕР(р)) такова:
(последнее ограничение следует из очевидной оценки ги(£) Е [О'р]). Её решение (хо = Хг = щ — 0), как и ранее, задает оптимальные процессы задачи с траекторией х = 0, а функция р = г/ — разрешающая.
Пример 1.4. х = 0,у = хи,и < 1,2/(0) = 0,ж2(0) + у2(1) < 1, J[o]
Расширенный нижний гамильтониан управляемой системы имеет вид
Цьх,у,р) =Р1- рух, р= (РиРх,Ру)-
Так как фаза у не существенна (не входит в правую часть системы, а целевой функционал линеен по у), то решения неравенства к > 0 естественно искать в виде
Ф,х,у) = 5(Г ж) + у,
где функция Б подлежит нахождению. Для нее получается дифференциальное неравенство
которое является обыкновенным, так как не содержит Бх Поэтому выгодно перейти к равенству, т.е. к уравнению Гамильтона-Якоби. Интегрируя, получим липшицевую Б(Ь,х) = Цх и, следовательно, р,х,у) ~ Цх + у, а р-экстремальное позиционное управление
Положим Ф = {р, р' — х) , где р' ~ очевидный первый интеграл системы. Тогда в концевой задаче (ЕР(Ф)) оптимальны две точки
ХоХ —> пип; хе 1/11 — Хо — 0, ид = ге(1) Е [0,1]
у{ 1) —> тт.
Бь{Ь,х) - |х| > 0,
уР(х) Е —signт = —SІgnЖo.

л/2 „ у/2
х0 = хх = ——,3/1