Накопление точек контакта с границей в задачах с фазовыми ограничениями

• Автор: Гаель, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Оглавление
1 Вспомогательные теоремы
1.1 Принцип максимума Понтрягина для задач с фазовыми ограничениями
1.2 Теорема об инвариантном многообразии диффеоморфизма
2 Задача с интегральным ограничением на управление
2.1 Автомодельные решения в задаче с симметрией
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Выход на границу фазового ограничения со счетным числом касаний
2.1.3 Отображение последования Пуанкаре Г —> Г
2.1.4 Построение оптимального синтеза
2.1.5 Гамильтонов формализм. Инвариантный интеграл Гильберта
2.2 Возмущенная задача
2.3 Лагранжевы многообразия в возмущенной задаче
3 Задача с локальным ограничением на управление
3.1 Автомодельные решения в задаче с симметрией
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Выход на границу фазового ограничения со счетным числом переключений
3.1.3 Отображение последования Пуанкаре Г —» Г
3.1.4 Построение оптимального синтеза
3.1.5 Гамильтонов формализм. Инвариантный интеграл Гильберта
3.2 Возмущенная задача
3.3 Лагранжевы многообразия в возмущенной задаче
4 Слоение Риба в задаче с фазовыми ограничениями
4.1 Накопление точек контакта с границей
4.2 Оптимальный синтез, определяющий слоение Риба

Введение
Современная теория оптимального управления берет свое начало от работ Л.С. Понтрягина и его учеников [1—4]. Одной из основных задач данной теории Л.С. Понтрягин считал задачу построения синтеза оптимальных траекторий, т. е. описание топологической структуры фазового портрета всех оптимальных траекторий, отвечающих заданным начальным условиям. Этой фундаментальной задаче посвящены работы целой плеяды математиков [5— 14].
Одним из направлений развития оптимального управления является теория оптимальных задач с фазовыми ограничениями [15-22]. Данная работа посвящена изучению оптимального синтеза для двух классов задач с фазовыми ограничениями.
Рассмотрим простой пример. А именно, на плоскости заданы две точки, которые нужно соединить нерастяжимой нитью минимальной длины. Очевидно, что ответом служит отрезок соединяющий эти точки. Предположим на плоскости есть препятствие, внутрь которого нить не может заходить. Для простоты возьмем препятствие в форме круга. Если отрезок соединяющий точки не пересекает круг, то решение останется прежним. В противном случае, решение, очевидно, будет состоять из отрезка, дуги окружности и еще одного отрезка. Причем прямые на которых лежат отрезки должны касаться окружности.
Формализуем эту задачу и попробуем получить уже известное решение исходя из принцип максимума Понтрягина [4].
Т —> inf, х = и, |гі| < 1, х(0) = Хо, х(1) = xi, где х, и Є К2. Согласно принципу максимума составляем Гамильтониан
Н(р,х,и) — —А о+ри и выписываем необходимые условия оптимальности
дН ,
Р = -у, U = argmaxv<{pv).
То есть

р = const, и = -г—г.

Это означает, что движение происходит с единичной, постоянной по направлению скоростью. И, следовательно, чтобы попасть из заданной точки в заданную нужно двигаться по отрезку их соединяющему. Получили ответ, который ожидали.
Теперь добавим фазовое ограничение
х > Я.
Классический принцип максимума Понтрягина к данной задаче уже не применим. Однако оказывается, что его можно уточнить следующим образом [19]. В тех точках оптимальной траектории, в которых она выходит на границу фазового ограничения, сопряженные уравнения нужно изменить следующим образом

йр = ~—<И - (0.1)
здесь и{Ь) — вектор, ортогональный фазовому ограничению, и направленный внутрь ’разрешенной’ области, а е?£ — неотрицательная мера Радона. То есть в нашем случае
Ф = —^гс14, = 0 при |ж(г)| > Я.

Исходное дифференциальное уравнение на сопряженную переменную р существенно изменилось. Оно стало уравнением связывающим меры на отрезке [О, Т]. Это типичная ситуация для задач с фазовыми ограничениями. Для широкого класса задач можно доказать [19], что мера сН; не имеет сингулярной составляющей, то есть может быть представлена в виде суммы двух мер: непрерывной £(£)еЙ и дискретной Ф(Г)- Используя этот факт и проведя несложные выкладки можно получить искомый ответ в виде двух отрезков и дуги окружности.
Таким образом, несмотря на то, что рассмотренная задача очень проста в своей формулировке, для ее решения уже недостаточно классического принципа максимума. Необходимо его усиление для класса задач с фазовыми ограничениями.
Первые результаты по данной тематике [4, Гл. 6], [15,16] были получены Л.С. Понтрягиным и Р.В. Гамкредидзе одновременно с открытием принципа максимума. Рассмотрен частный, но важный случай задач оптимального управления в которых на оптимальную траекторию накладывается следующее ограничение. Предполагается, что число участков оптимальной траектории на которых движение происходит по границе и строго внутри фазового ограничения конечно. В данных предположениях получены необходимые условия оптимальности для участков траектории, проходящих по границе

Теорема 2.6. При выполнение условий (2.30) у возмущенной системы (2.27)-(2.29) имеется трехмерное интегральное многообразие 2Й со свойствами
Доказательство. Докажем сначала существование двумерного интегрального многообразия ЗЯ заполненного траекториями системы (2.27)-(2.29), приходящими в начало координат со счетным числом касаний границы фазового ограничения у — 0 за конечное время. Для этого изучим отображения последования Пуанкаре границы у — 0 на себя, возникающее при двух последовательных касаниях поверхности у = 0 траекториями системы (2.27)-(2.29).
Пусть в момент времени £ = £о траектория (г/(£). -г(£),го(£),'01(£),г/'2(£), фз(ф)) оказалась на поверхности у — 0. При £ > £о (в достаточно малой окрестности точки £ц, в которой у(£) > 0) запишем систему (2.27)-(2.29) в виде интегральных уравнений
поэтому для того, чтобы у{£) > 0 при £ € (7о—е, £о+е) на некотором открытом интервале времени (£о — е, £0 + е) необходимо равенство
А)-П).
(2.31)

= 0г(у(в), Дв),гу(й),т/ДД, ^гОО,^’зОО.'Ф)), г = 1,2,..., 6. Из первого уравнения следует, что
у(£) = (Д£0) + ф(Ьф))(г - г0) + 0((£ - £0)2),
Д*о) + ^1(О,г(£о),гу(£о),^1(*о).'02(*о)5^з(*о)) = 0. Обозначим 2 четырехмерную поверхность
2 = {{у, г, го, фъ ф2, фз) у = 0, г + фг(0, г, гн, фъ ф2, фз) = 0}.