Неограниченные возмущения монотонных операторов и некоторые приложения

• Автор: Кузнецов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 148 с.

Содержание
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Возмущенные уравнения с монотонными операторами
1.1 Некоторые вспомогательные утверждения
1.2 Существование решений операторных уравнений
1.3 Приложения. Краевые задачи. Ограниченная область .
1.4 Приложения. Неограниченная область
Глава 2. Эволюционное уравнение с двойной нелинейностью .
2.1 Вспомогательные утверждения
2.2 Существование решения
2.3 Приложения. Случай невырожденного оператора В . .
2.4 Случай вырожденного оператора В
2.5 Пример
Глава 3. Эволюционные уравнения с монотонными операторами
и линейным оператором при производной по времени
3.1 Эволюционное уравнение^ содё^ай&йфе линейный оператор при производной ПО временит,
3.2 Применение полученных результатов
Литература

ВВЕДЕНИЕ
В диссертации рассмотрены вопросы существования решений операторных и эволюционных уравнений с монотонными операторами.
Метод монотонных операторов был создан в шестидесятые и семидесятые годы двадцатого столетия трудами многих математиков. Он дал возможность изучить широкие классы уравнений и систем высокого порядка эллиптического и параболического типов. Определенные итоги метода подведены во многих монографиях и обзорах, из которых упомянем только книги Лионса [21], Скрыпника [24], [26], Ладыженской, Солонникова и Уральцевой [17], Куфнера и Фучика [16], а также обзорные работы Дубинского [6],[7]. Метод монотонности продолжает активно развиваться и его теория регулярно отображается в литературе. В качестве примера отметим одну из последних монографий в этой области [40].
Сразу в начальный период развития метода монотонности появились попытки расширить рамки монотонных операторов, в первую очередь для приложений к уравнениям вида Аи + Ви = /г, где А -монотонный оператор, В - возмущающий, но без свойства монотонности и более слабый оператор по отношению к А. Казалось вполне естественным включить оператор В в единую сумму 5 = А + В, получив новый класс операторов, близких к монотонным. На этом пути были созданы: теории операторов с полуограниченной вариацией (Дубинский), операторов вариационного исчисления (Лере, Лионе), псевдомонотонных операторов (Брезис) и так далее. Всего получилось около десятка новых теорий. Сейчас можно с уверенностью констатировать, что ни одна из указанных теорий не дает возможность рассматривать сумму А+В как единый оператор определенного класса. Другими словами, остается актуальной задача о возмущении монотонного оператора А, или близкого к монотонному, дополнительным слагаемым В. Некоторые результаты, полученные на этом пути, будут указаны позднее более детально.

Диссертацию можно разделить на две основные части, в соответствии с рассматриваемыми уравнениями. Первая часть касается рассмотрения возмущенных операторных уравнений вида
{А + В)и = к. (1)
Изучению таких уравнений и приложению их к проблеме существования решений нелинейных краевых задач для эллиптических уравнений посвящена первая глава.
Основной оператор А считаем коэрцитивным и псевдомонотон-ным, действующим из некоторого сепарабельного рефлексивного банахова пространства X в его сопряженное X*. Возмущающий оператор В считаем тоже коэрцитивным, но не обязательно монотонным или близким к монотонному, и действующим из некоторого сепарабельного рефлексивного банахова пространства У в его сопряженное У*.
Прежде чем сформулировать основной результат первой главы и дополнительные условия на операторы, при которых решается задача, напомним, что уравнения вида (1) рассматривались многими авторами. Остановимся на полученных в этом направлении результатах более подробно.
У Вайнберга [2] существование решений уравнения (1) доказано для случая, когда оператор А монотонный. В качестве возмущающего оператора В берется либо компактный оператор, либо слабо непрерывный ортогональный оператор, удовлетворяющий условию
(Ви,и) = 0.
При этом оператор В действует в том же пространстве, что и оператор А, то есть В : X -» X*, и в этом смысле его можно назвать ограниченным возмущением.
У Дубинского [6] рассмотрен случай эллиптического линейного оператора А высокого порядка, возмущенного потенциальным опфэа-

степеней р и I, которая определяется теоремами вложения. Именно,
N ~ р
если 1 < р < Ы, где N - размерность пространства. Неоднократно предпринимались попытки отказаться от связи между степенями р и I (заметим, что в представленном выше результате нет условий на связь этих степеней). Это удавалось сделать за счет наложения дополнительных ограничений на функцию /(х,д), которая порождает оператор В. Например в монографии Скрыпника [24] указано, что задача типа (21) допускает решение, если функция /(ж, и) определяет монотонный оператор В, что соответствует монотонности функции /(ж,д) по переменной и Є і? для почти всех х Є П. В обзоре Дубинс-кого [6] показано, что разрешимы уравнения вида

-'^1І)гіа^х^и)Оіи + /(ж,и) = Дж), иш = О,

то есть почти линейные в главной части.
Принципиально другой класс возмущающих операторов изучался в работах Солтанова [28],[29]. Именно, он рассматривал уравнения вида

-^Д(|РдГ2Дд) -£Д(Н*Д«) = /(ж), д|ап = 0.
г—1 г=
Подчеркнем следующий факт. Возмущающий оператор

Ви = -^2 Д(|и|9Дгі), «|ап = 0,

имеет тот же порядок, что и основной оператор

Аи = — Д (|/)ц|р_2 Ди).

Главное отличие - это множитель |гі|? в операторе В. Благодаря такому множителю уравнение получило название уравнения с двойным