Гладкость решений краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции

• Автор: Пинигина, Нюргуяна Романовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 105 с.

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§1.1 Гельдеровские пространства
§1.2 Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных уравнений
2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ЭВОЛЮЦИИ
§2.1 Разрешимость краевых задач для уравнения с меняющимся направлением времени
2.1.1 Непрерывные условия склеивания
2.1.2 Разрывные условия склеивания
§2.2 Краевые задачи в ограниченной области
§2.3 Краевые задачи с нелокальными начальными данными
2.3.1 Непрерывные условия склеивания
2.3.2 Разрывные условия склеивания
§2.4 Склеивание производных первого и второго порядков
2.4.1 Непрерывное склеивание производных
2.4.2 Разрывное склеивание производных
2.4.3 Регулярная разрешимость
§2.5 Склеивание с разными производными до второго порядка
2.5.1 Непрерывность разных производных
2.5.2 Разрывность разных производных
§2.6 Контактные параболические краевые задачи в гельдеровских
пространствах
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность темы. Краевые задачи для уравнений е меняющимся направлением эволюции стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных давно. Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М. Жеврея [25]. К ним относится также ряд эволюционных уравнений, тип которых зависит от самого искомого решения.
В настоящее время наиболее разработана теория краевых задач для уравнений, тип которых меняется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии или поверхности или при достижении граничных точек. Это, прежде всего, линейные уравнения смешанного типа, исследования которых начались с работ Ф.Трикоми, С.Геллерстедта, Ф.И.Франкля. Последним были обнаружены важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. Это, в частности, стало причиной возникновения широкого фронта исследований в этом направлении, образования больших научных групп.
В нашей стране наиболее существенное влияние в этом направлении оказали работы М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе [9], М.В. Келдыша, A.B. Овсянникова, И.Н. Векуа [13], С.А. Чаплыгина, В.П. Ильина, Е.И. Моисеева,
В.Н. Монахова [62], [63], С.А. Терсенова [114], Т.И. Зеленяка [27], А.П. Солдатова [105], [106], Т.Ш. Кальменова [29], И.М. Петрушко [75], М.М. Смирнова [104], В.П. Диденко, С.М. Пономарева и их научных школ. Общая теория краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа была предметом исследований

B.Н. Врагова [14]—[17], Г.Д. Каратопраклиева [31], [32], А.Г. Кузьмина [44], Д.М. Расьянса, H.A. Ларькина [55], А.И. Кожанова [41]—[43], Б.А. Бубнова,
C.Г. Пяткова [100], И.Е. Егорова [23], А.Г. Подгаева [79] и других.
Большое число работ посвящено изучению линейных уравнений с меняющимся направлением времени. Простейшей моделью является уравнение вида
g(x)ut + Lu = f, д(х) = sgna;, (0.1.1)
где L — эллиптический оператор второго порядка. Это уравнение при х ф 0 является параболическим, однако, для него задача Коши с данными при t — 0 не корректна. Теория разрешимости краевых задач для линейных моделей подобных уравнений была построена в работах С.А. Терсенова [115], А.М. Нахушева [68], И.Е. Егорова [21], A.A. Керефова [36], Н.В. Кислова [37]—[40], С.Г. Пяткова [98], В.В. Катышева [35], Х.Х. Ахмедова [2] , М.С. Боу-енди [4], П. Грисварда, К.Д. Пагани [73]—[74], Г. Таленти, О. Арены [1] и других авторов. Качественные свойства этих уравнений оказались такими, что в классах типа W решение существует и единственно, но более гладкие решения существуют только при условии выполнения конечного числа связей интегрального характера между входными данными. Отметим, что
С.А. Терсенов [114] изучал эти задачи с меняющимся направлением эволюции в гельдеровских классах функций, разрешимость их сводил к разрешимости сингулярного интегрального уравнения и эти связи (условия разрешимости) выписывал в явном виде. При этом предполагалось, что условия склеивания на линии раздела должны быть непрерывными, включая первую производную. В представляемой диссертационной работе рассматриваются

2,3). Следовательно, имеем a^(t) — F^ßt), ß2t) — F^lt) (i = 1 / — 1).
Легко видеть, что функции а2 (t), /Ö2 {t) принадлежат искомому пространству Яр_1(0,Т) и удовлетворяют условиям (2.2.5). Ясно также, что функции (t), ß2{t) из последнего равенства определяются единственным образом с производными до / — 1 порядка включительно.
Таким образом, в случае / > 1, задача состоит в том, чтобы из уравнений (2.2.10), (2.2.11) найти aßt), ßßt) из пространства Яр-1(0, Т), которые удовлетворяют условиям (2.2.5).
После этого аналогия со случаем, рассмотренным в [85], на столько полной, что мы можем, не останавливаясь на доказательстве, сформулировать окончательный результат данного параграфа.
Теорема 2.3. Пусть ipi, Е Яр, р = 21 + 7 и выполнены условия согласования (2.2.3). Тогда при выполнении 21 условий вида
Ls(

существует единственное решение уравнений (2.1.4), удовлетворяющее условиям (2.1.5), (2.1.6), (2.2.1) из пространства:
1) Hpxf, если 0 < 7 < min{20,1 - 29}
2) Н/2, q = 21 + min{20,1 — 29}, если min{20,1 — 29} < 7 < 1;
3) Я^-^ , если 7 = min{20,1 — 29}, где е — сколь угодно малая положительная постоянная.
§2.3 Краевые задачи с нелокальными начальными данными
Для уравнения, имеющего вид (2.1.2), где д(х) = sgn(a:) рассмотрим нелокальную краевую задачу. Решение уравнения ищется из пространства Гель-