Дифференциальные включения второго порядка на римановых многообразиях

• Автор: Обуховский, Андрей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 104 с.

1. Предварительные сведения
1.1. Многозначные отображения
1.2. Элементы стохастического анализа
1.3. Элементы теории римановых многообразий
1.4. Интегральные операторы с параллельным переносом
2. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений второго порядка на римановом многообразии
2.1. Дифференциальные включения с правой частью типа Каратеодори
2.2. Двухточечная краевая задача для дифференциальных включений с полунепрерывной снизу правой частью
2.3. Двухточечная краевая задача для механических систем с отражением
2.4. Случай систем со связями
3. Стохастические дифференциальные включения на римановых многообразиях
3.1. Стохастические дифференциальные включения Лан-жевена
3.2. Включения типа Ито
3.3. Дифференциальные включения второго порядка со случайными возмущениями скорости

Дифференциальные включения (иными словами - дифференциальные уравнения с многозначной правой частью) естественным образом возникают в различных прикладных и теоретических разделах математики и в настоящее время активно изучаются. Укажем, например, что при описании дифференциальных уравнений с управлением используется естественный переход к дифференциальному включению - в этом случае в правой части уравнения рассматривают множество значений скорости или силы при всех допустимых значениях управляющего параметра. Другой широко известный случай возникновения дифференциальных включений -когда включениями заменяют дифференциальные уравнения, у которых правая часть существенным образом разрывна. Для этого разработан уже ставший стандартным прием, предложенный А.Ф. Филипповым. В связи с большим прикладным и теоретическим значением дифференциальных включений с 50-х годов прошлого века началось бурное развитие этой теории. Укажем, например, современное монографическое изложение различных ее аспектов, принадлежащее J.P. Aubin и A. Cellina, K. Deimling, A.A. Толсто-ногову, А.Ф. Филиппову и др.
Задачи с управлением и с разрывными правыми частями на гладких многообразиях также исследовались методами теории дифференциальных включений (M.L.J. Hautus, G. Stefani и P. Zecca, Б.Д. Гельман и Ю.Е. Гликлих, G. Grammel и др., [37], [45], [7], [36], [15], [35]). Они описывают системы на нелинейных конфигурационных и фазовых пространствах, и их исследование существенно использует геометрические идеи. Однако из-за значительно более сложного аппарата включения на многообразиях были изучены в меньшей степени, чем в линейных пространствах.

В последние десятилетия, начиная, по-видимому, с работ E.D. Conway [28], J.P. Aubin и G. Da Prato [25] активно развивается теория стохастических дифференциальных включений, (см. также, например, [8], [41], [29], [44]). Заметную роль здесь играют представители польской школы (М. Киселевич, Е. Мотыль, М. Михта и др.). Наиболее часто в приложениях стохастические дифференциальные включения возникают из стохастических дифференциальных уравнений аналогично нестохастическому случаю.
Изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях было начато работой Ито 1950 г. и к настоящему времени получило большое развитие (имеется монографическое изложение в книгах K.D. Elworthy [31], Ю.Л. Далецкого и Я.И. Бело-польской [1], Ю.Е. Гликлиха [15], М. Emery [32], Е. P. Hsu [38] и др.). Отметим, что даже изучение стохастических дифференциальных уравнений на многообразиях является существенно более сложной задачей, чем в линейных пространствах, и требует значительно более сложной техники, основанной на современной геометрии многообразий. Поэтому стохастические дифференциальные включения на многообразиях ранее практически не исследовались несмотря на то, что они естественно возникают во многих задачах.
Одним из наиболее важных для приложений классов дифференциальных включений являются дифференциальные включения второго порядка, которые имеют физический смысл механических систем с многозначной силой. В терминах подобных включений описываются системы с управляющей силой или с разрывными силами (движение в сложных средах, в присутствии сухого трения и т.д.). Подобные системы на многообразиях позволяют включить в рассмотрение случай нелинейных конфигурационных пространств. В работе Б.Д. Гельмана и Ю.Е. Гликлиха 1980 г. [7] были разработаны новые геометрические методы и получены важные резульТеорема 2.25. Пусть выполнено условие (11) и пусть точки т0,т Е К таковы, что существует целиком лежащая внутри К геодезическая a(t) связности Леви-Чивита, для которой а(0) = то, а(1) = Ш1 и вдоль которой точки то и т не сопряжены. Тогда существует число Ь{то,т,а) > 0 такое, что для любого 0 < t < L{mo,m,a) существует решение m{t) включения (6), удовлетворяющее условию ш(0) = то, m(t) = т.
Доказательство. Так как по теореме 2.23 при выполнении условия (11) Ф(1, т, X) полунепрерывно снизу, то при указанных условиях из теоремы 3.1 работы [35] следует утверждение теоремы 2.25 для дифференциального включения
^rn(t) Е $(t,m(t),rh(t)).
Поскольку по построению Ф(t,m,X) С F(t,m, X), то указанное решение является также и решением (6). □
Ниже в этом параграфе мы рассмотрим случай, когда в К нет геодезических, соединяющих то с т и целиком лежащих в К.
Для точки т € дК ведем оператор отражения R : ТтМ —> ТтМ следующим образом: для X — Х6 + Х^п положим R{X) = Х6 — Х2п.
Рассмотрим на К произвольную кривую m(t), которая является гладкой во внутренних точках. Мы будем говорить, что кривая m(t) обладает свойством отражения на границе, если в момент времени t*, когда m(t*) Е дК, выполнено условие: Итщ. m(t) = i?(limtp. rh(t)), где t j t* означает, что t стремится к t* при t > t*, а t 11* - что t стремится к t* при t < t*.
Определение 2.26. Выживающей геодезической называется кривая a(t), целиком лежащая в К, обладающая свойством отражения на границе и такая, что для всех t, при которых a(t) G Int К, она является гладкой и удовлетворяет уравнению £ä(i) = 0.