Асимптотические разложения собственных элементов оператора Лапласа с частой сменой типа граничных условий

• Автор: Борисов, Денис Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 123 с. : ил

Оглавление
Введение
Глава 1. Двумерная краевая задача с локально периодическим чередованием граничных условий
§1. Формальное построение асимптотических разложений для
произвольной области
§2. Модельная задача для пограничного слоя
§3. Непрерывная зависимость от г] и оценки коэффициентов формальных асимптотик
§4. Доказательство теоремы 0.
§5. Доказательство теоремы 0.
Глава 2. Двумерная краевая задача с непериодическим чередованием граничных условий
§1. Формальное построение асимптотических разложений
§2. Формальное асимптотическое решение
§3. Доказательство теорем 0.3, 0.
Глава 3. Трехмерная краевая задача с периодическим чередованием граничных условий
§1. Сходимость
§2. Формальное построение асимптотик в условиях теоремы 0.6
§3. Формальное построение асимптотик в условиях теоремы 0.7
§4. Доказательство теорем 0.6, 0.
Литература

Введение
Краевые задачи с различного рода сингулярными возмущениями объект исследований многих ученых. Подобный интерес объясняется тем, что, с одной стороны, сингулярно возмущенные краевые задачи часто ф возникают как математические модели в различных приложениях, а с
другой стороны - наличием у этих задач большого числа разнообразных свойств, интересных с математической точки зрения. Примерами такого рода задач могут служить краевые задачи для уравнений с малым параметром при старшей производной, с быстро осциллирующими коэффициентами, задачи в области с вырезанным множеством малой меры, задачи со сменой граничного условия на малом участке границе, задачи с частой сменой граничных условий, с концентрированными массами, задачи в областях с быстро осциллирующей границей, в перфорированных областях, в областях с тонкими отростками и многие другие (см., например, монографии [1, 2, 13, 28, 34, 37, 39, 41, 44, 46, 53, 54, 62], статьи ф [21, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 36, 40, 42, 43, 49, 50, 77, 78, 84] и многие другие
работы).
Диссертация посвящена изучению сингулярно возмущенных краевых задач с частой сменой типа граничных условий. Вначале опишем в общих чертах такого рода краевые условия. На границе области, в которой рассматривается уравнение, выделяется подмножество. Основным свойством этого подмножества является то, что оно состоит из большого числа нсперссекающихся частей малой меры. Как правило, это подмножество зависит от одного или нескольких характерных малых параметров, при стремлении которых к нулю расстояние между отдельными компонентами этого подмножества и мера каждой отдельной компоненты стремятся ф к нулю (см. рис. 1). На этом подмножестве задается граничное условие
одного типа (например, условие Дирихле), в то время как на оставшейся части границы задастся граничное условий другого типа (например, условие Неймана). Цель исследований - описать поведение решений, когда характерные малые параметры стремятся к нулю. Рассматриваются
также задачи, в которых описанная смена краевых условий задается не на всей границе, а лишь на фиксированной ее части, в то время как на остальной части границы ставится одно из классических краевых условий.
Одной из самых простых физических моделей, описываемой краевой задачей с частой сменой граничных условий, является задача о мембране,
разными краевыми условиями. В [67, 69] рассматривалось уравнение Лапласа в ограниченной области с частой сменой граничных условий Дирихле и Неймана. Рассматривалось чередование граничных условий, имеющее непериодическую структуру, но дополнительно предполагалось, что части границы с разными граничными условиями имеют одинаковый порядок малости. В работах [3, 56, 57, 65, 68, 74, 79, 80] для линейных эллиптических задач с чередованием первого краевого условия со вторым либо третьим краевым условием были получены усредненные задачи и приведены достаточно простые условия, определяющие зависимость типа усредненной задачи от структуры чередования. Случай, когда подмножество границы с граничным условием Дирихле имеет периодическую структуру, исследовался в [57, 65, 68, 79, 80]. Сходимость в непериодическом случае изучалась в [4, 56, 74]. Отметим, что ограничения на структуру чередования граничных условий, гарантирующие
часто закрепленной на малых участках гра-
Г£ ницы.
Вопросы усреднения эллиптических краевых задач с частой сменой граничных условий исследовались достаточно широко (см., например, [3, 4, 56, 57, 61, 65, 67, 68, 69, 70, 74, 79, 80|). Основной целью этих работ было определение вида предельных (усредненных) задач при минимальном наборе требований к структуре чередования граничных условий, то есть, к поведению множеств с
Рисунок 1.

последнего равенства выразим А из условия разрешимости (1.12) и затем оценим:
А < Дктпф + 7г_1||^||42(п)||Х||^(11).
В силу пункта в) леммы 1.4 величина ||Х||х (П) ограничена равномерно по г/. Учитывая этот факт и подставляя полученную оценку для А в (1.24), получим квадратное неравенства относительно Решая данное
квадратное неравенство, приходим к оценке:
||^||,2(п> < с (|ии2(П) + В (| Ьыпф1/2 + 1)) ,
где С - константа, не зависящая от Р, 5 и г). Соединяя последнее неравенство С оценкой ДЛЯ || Н ||ь2(п) ИЗ леммы 1.3, приходим к утверждению леммы. Лемма доказана.
Лемма 1.6. Пусть выполнены условия леммы 1.5, и, кроме того, справедливы принадлежности € ^р(г]), £2+?+1У€= 1ф(г/)> Р, Я > 0.

Тогда для решения задачи (1-11) справедливы соотношения
еГ^-р е Уд(г?), (1.25)

и для и = V + ВХ, р > 0, р + ^ > 1 верны оценки:
Н^гЧкгШ) ^ (1-26)

<с(Ё|в+*+1)Ш| +Ёийг|ида,), (1.27)
«»> ЦК1' г1п> 15 /
гс*е константы С не зависят от г], И и В, и = V + ВX.
Доказательство. Так как г> € У(т?), то для доказательства (1-25) достаточно проверить интегрируемость соответствующих функций в точках (±ц + 7Г&,0), к 6 2. Это легко сделать па основе асимптотик (1-22).
Ясно, что и - решение задачи (1.11) с правой частью Т1 и В — 0. По-
этому в силу леммы 1.5 функция и удовлетворяет равенствам (1.20) и