Нелокальные двухпараметрические бифуркации векторных полей на поверхностях

• Автор: Ройтенберг, Владимир Шлеймович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 187 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. БИФУРКАЦИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ, ИМЕЮЩИХ ПЕТЛЮ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА С НУЛЕВОЙ СЕДПОВОЙ ВЕЛИЧИНОЙ
§ 1.1. Бифуркационное многообразие
§ 1.2. Бифуркации векторных полей с двухсторонней петлей
сепаратрисы
§ 1.3. Бифуркации векторных полей с односторонней петлей
сепаратрисы
ГЛАВА 2 БИФУРКАЦИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ С КОНТУРОМ ИЗ
СЕПАРАТРИС СЕДЕЛ
§2.1. Бифуркационные многообразия
§ 2.2. Бифуркации векторных полей из ££2т
§ 2.3. Бифуркации векторных полей из т (л?=5,6)
ГЛАВА 3 БИФУРКАЦИИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ, ИМЕКЩИХ КОНТУРЫ ИЗ СЕПАРАТРИС СЕДЛА И СЕДЛО-УЗЛА
§ 3.1. Бифуркационное многообразие 3
§ 3.2. Бифуркации векторных полей с одним двухсторонним
контуром из сепаратрис седла и седло-узла
§3.3. Бифуркации векторных полей с одним односторонним
контуром из сепаратрис седла и седло-узла
§3.4. Бифуркации векторных полей с двумя односторонними
контурами из сепаратрис седла и седло-узла
ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
§ 4.1. Бифуркационные многообразия ,2? и € . Формулировка теорем
§ 4.2. Доказательство теоремы
§ 4.3. Доказательство теоремы
ПРИЛОЖЕНИЕ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕХНИЧЕСКИХ ЛЕММ
РИСУНКИ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
1. Общая характеристика работы
Большое число прикладных задач приводит к динамическим системам (векторным полям) на плоскости и двухмерных поверхностях, зависящим от параметров и исследуемых методами теории бифуркаций. В связи с этим является важным и актуальным описание "стандартных" бифуркаций, которые могут быть в типичных семействах векторных полей, зависящих от нескольких параметров. Простейшие такие бифуркации - бифуркации векторных полей первой степени негрубости на двумерном диске (сфере), реализуемые уже в типичных однопараметрических семействах, исследованы еще в тридцатые годы в основополагающих работах А.А.Андронова и Е.А.Леонтович [2, 3]. Векторные поля первой степени негрубости на поверхностях, ориентируемых и неориентируемых, и их бифуркации изучены С.X.Арансоном [7, 8], а также Сотомайором [34] . Сотомайором был введен более обший класс негрубых векторных полей на поверхностях - квазиобщих векторных полей, и доказано, что они всюду плотны в множестве негрубых полей и образуют погруженное подмногообразие коразмерности один в пространстве векторных полей.
К середине семидесятых годов было закончено описание локальных бифуркаций в окрестности особых точек и замкнутых траекторий в типичных двухпараметрических семействах векторных полей на поверхностях [33, 36, 10 и др.]
Долгое время, по-видимому, единственной работой, в которой исследовались нелокальные бифуркации в многопараметрических семействах на плоскости, оставалась статья Е.А.Леонтович [15], где была дана оценка числа циклов, рождающихся из петли сепа-

ратрисы седла с нулевой седоовой величиной.
В первой половине восьмидесятых годов появились работы Рейна [24], В.П.Ноздрачевой [19-21], Д.В.Тураева [37], в которых исследовались бифуркации рождения циклов из сепаратрисных контуров в двухпараметрических семействах векторных полей на поверхностях.
Заметим, что начиная с семидесятых годов было опубликовано много работ, в которых изучались нелокальные двухпараметрические бифуркации в многомерных динамических системах. В первую очередь, это работы Л.П.Шильникова и его учеников (см., например, обзор [6]). Ввиду специфики многомерных задач из этих работ применима к двухмерному случаю только работа В.И.Лукьянова [16] по бифуркациям петли сепаратрисы седло-узла.
В связи с вышесказанным, представлялось .актуальным продолжение исследования нелокальных бифуркаций в типичных двухпараметрических семействах векторных полей на поверхностях, что и было сделано автором в работах [25-32], положенных в основу настоящей диссертации.
Получены следующие новые результаты:
В множестве векторных полей класса С >л) на поверхности М , не являющихся ни грубыми, ни квазиобшими, выделены подмножества, являющиеся подмногобразиями коразмерности два в пространстве векторных полей. Описаны типичные двухпараметрические бифуркации векторных полей, принадлежащих этим подмногообразиям. Получены полные бифуркационные диаграммы в следующих случаях:

0<у.~' Ы1Ю,£)ч/1(£)< г ц{(й)<ги . (1.2.14)
Обозначим
Г (9)',-=11(о)д)-и с&), £ = £„.,,Л , к£М. (1.2.15)
о /С
Область определения функции С (-) представляет собой откры-
г £_
тое в (возможно пустое) множество, а () С С
Поскольку оо ( Ь 2 ° (р п )} то сепаратрисы (ё) и
> £€£-<£,£/; при достаточно малом <Г совпадают тогда
и только тогда, когда С и)=о при некотором К € Ы.

Фиксируем (ъ.М) и £ , а выбор уточним. ниже.
Лемма 1.2.1. Число «Г можно выбрать так, что если при некоторых $ =4), Ч , Ч: €/ ; £ <б ЕГ
£ (г°)=оЛ {1-2Л6)

(£°)/2е1>0. (1.2.17)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай £ ° -- (£ ° П О] * (°/ £ ] Обозначим
О,*- ояау /па£ ( дп (£)/?£г1 (1.2.18)
'5с 1-1X1'
ГУ) ,
Поскольку V" 67 £ &| = г ТО <Г можно взять столь
малым, что у™ (0 >£,) < ($_) при €Є[~£,$1 , £ = 4)...)п ,
ГУ) &/] . Вместе с (1.2.15) и (1.2.16) это приводит
к следующей оценке
К- > Ьгср/£*. Ц +І . (1.2.19)

Вследствие (1.2.8), (1.2.13) и очевидного неравенства *11 {1 X (и0) , иб(о,ге). (1.2.20)