Параболические уравнения высокого порядка в неограниченных областях

• Автор: Юсупов, Аюбжон Кенжабаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 99 c. : ил

ГЛАВА I. ЗАДАЧА КОШИ ДЕЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАСТУЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ ( Я”)

§ I. Основные обозначения и вспомогательные утверждения

§ 2. Формула параметрикса и основные утверждения для случая уравнения высокого порядка

§ 3. Оценка норм некоторых оператор-функций

§ 4. Некоторые свойства оператор-функций и доказательство теорем І.І.-І.3.

Глава II. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИЛЬНО ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ В МАССАХ РАСТУЩИХ ФУНКЦИЙ.

§ 5. Задача Коши для параболических систем в пространстве

§ 6. Задача Коши для сильно параболических систем в пространстве с весом

Глава III. НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ СИЛЬНО ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

§7. Разбиение единицы и определение класса

§ 8.Оценка нормы оператор-функции Н(І,ї)

§ 9.Доказательство теоремы 3.2
Список литературы

Диссертационная работа посвящена исследованию систем диф -ференциальных уравнений с частными производными параболического типа

дифференциальное выражение (д.-в.) , с коэффициентами^,являющимися квадратными матрицами порядка А/ , определенными в ци -линдрической области
ПГ(П) = [(&)£ЯГ1- х£А, о<{<т}'
Здесь Рей" — произвольная (ограниченная или неограниченная) область.
В последнее время наряду с общими краевыми задачами для равномерно параболических систем, интенсивно изучаются параболические системы с растущими коэффициентами в неограниченных об -ластях, вырождающиеся параболические системы, а также уравнения, коэффициенты которых могут иметь сингулярности на некоторых многообразиях, в частности, на границе области.Интерес к таким классам уравнений возрастает, так как уравнения, описывающие некоторые диффузионные процессы и некоторые процессы тепло-мас-сообмена принадлежат к ним.
В основополагающей работе И.Г. Петровского [ I ] введен широкий класс параболических систем дифференциальных уравнений и для них установлена корректная разрешимость задачи Коши в классе ограниченных функций.Коэффициенты системы предполагались зависящими только от времени Ь
Результаты работы [i] были обобщены С.3.Бруком [2-3J для параболических систем, коэффициенты которых являются ограниченными функциями пространственных переменных X
Корректность задачи Коши для уравнения теплопроводности в классе растущих функции вида

была установлена А.Н.Тихоновым [4 J . Кроме того, им построен пример ненулевого решения задачи Коши с нулевыми начальными данными, удовлетворяющий неравенству

т.е. принадлежность классу вида (2) является достаточным для единственности решения задачи Коши.Хольмгрен [б] расширил класс единственности до класса

Затем Тзклинд [6] нашел точный класс единственности-решения задачи Коши для уравнения теплопроводности единственно в классе

тогда и только тогда, когда положительная неубывающая на Г функция h (1) удовлетворяет условию

O.A. Ладыженская [ 7 ] доказала корректную разрешимость задачи Коши для одного параболического уравнения (I) ( N -!■■)
с коэффициентами; не зависящими от X . в классе быстро растущих функции вида

следует ограниченность о.-ф. Рь } (о йХ*-Ь*-Т ) •
В силу замкнутости получим, что Чи,х)иоеЮ(Р<) для
любого Ц0£ Н .Так как
при /7-Т с I -6%, а о^эс^.1 * то

Р ( Чил) ^(4,1) и,с/ч=
Г .—=> г")
£~?С> *Т
- р,иг7 jP.UK іл)р(пк) и, £-7 0 *
Из равенства (4.16),оценки / РЦ, Т) 14 СоСрХ) и существования предела ( см. леммуи.8)
| У'(р^1)£(^Т)ио(У^

следует, что существует следующий предел
Ь^Р /Р РИі,Рр(чУ)и0 сир.
1-00 с х

Таким образом У Ир) Ы0 ) } для любого Ы06 И ,
Окончательно из лемм 1.7 -Т. 8 получим, что
(р + ^ ) и/с£,г)ои)
иг* ка.кш ) -Мо(-).
{Р»Т+Э Теорема Н доказана.
Для доказательства теоремы/-2 заметим, что если выполнены условия А - Д для коэффициентов д.в. Р (х, X) } и , кроме того, если для каждого -і (о<іг^Т) д.в. является симметрическим, то нетрудно проверить, что выполняются все условия
работы [ 42 ] , при &(Х ~<Р , где 8 - постоянная пара бо личности. Следовательно, для каждого фиксированного і (о<, ігйТ), замыкание оператора