Осреднение нестационарных уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами

• Автор: Сандраков, Геннадий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 267 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Общие принципы построения асимптотических разложений решений уравнений с периодическими быстроосциллирующими коэффициентами 41 §1.1. Алгоритм построения асимптотических разложении решений эллиптических уравнений
§1.2. Эллиптические уравнения дивергентного вида произвольного порядка
§1.3. Примеры
Глава 2. Осреднение параболических уравнений с сильно изменяющимися коэффициентами
§2.1. Постановка задачи. Теоремы об оценках
§ 2.2. Вспомогательные леммы
§2.3. Доказательство теорем 2.1
§2.4. Доказательство следствий 2.1
Глава 3. Осреднение системы уравнений теории упругости с сильно изменяющимися коэффициентами
§3.1. Постановка задачи. Теоремы об оценках
§3.2. Вспомогательные леммы
§3.3. Построение начальных членов асимптотики
§3.4. Доказательство теорем 3.1
Глава 4. Осреднение нестационарной системы Стокса
в перфорированной области
§4.1. Постановка задачи. Теоремы о сходимости
решений
§4.2. Вспомогательные леммы
§ 4.3. Доказательство теорем 4.1
Глава 5. Осреднение системы уравнений акустики в перфорированной области
§5.1. Постановка задачи. Теоремы о сходимости
решений
§5.2. Вспомогательные леммы
§ 5.3. Доказательство теорем 5.1
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена математическому исследованию дифференциальных уравнений в частных производных с сильно изменяющимися быстр о осциллирующими коэффициентами. Такие уравнения описывают разнообразные физические процессы в микронеоднород-ных средах. Под такими средами обычно понимают среды, состоящие из многократно чередующихся объемов веществ с сильно различающимися физическими свойствами. Примером таких сред могут служить композиционные материалы, используемые в различных областях науки и техники. При математическом описании микронеоднородных сред, как правило, предполагается наличие у таких сред некоторой упорядоченной структуры. Предполагается также, что е, масштаб неоднородности среды, имеет малый порядок по сравнению с характерным размером области, занимаемой рассматриваемой средой.
Коэффициенты исследуемых уравнений задаются функциями вида а(ж/е), описывающими локальные характеристики микронеоднородных сред. В соответствии с предположениями об упорядоченности функция а (у) может быть периодической, квазипериодической или принадлежать другому определенному классу. При малом е такие коэффициенты являются быстроосциллирующими, что чрезвычайно усложняет практический расчет характеристик микронеоднородных сред. По этой причине возникает естественная математическая задача исследования асимптотических по е свойств решений таких уравнений.
За последние четверть века такой асимптотический анализ был проведен для определенных классов эллиптических уравнений в частных производных и соответствующих нестационарных аналогов таких уравнений. Оказалось, что для рассмотренных классов решения подходящих краевых задач для уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами сходятся в соответствующем пространстве при £ —У О к решению однозначно определенной краевой задачи для уравнения с постоянными коэффициентами. Такие уравнения с постоянными коэффициентами описывают ’’осредненные” или ’’эффективные” свойства

ВВЕДЕНИЕ

микронеоднородной среды и поэтому называются осредненными или усредненными уравнениями.
Наиболее полные результаты в этом направлении получены для линейных уравнений и систем дивергентного вида с периодическими бы-строосциллирующими коэффициентами. Для таких уравнений второго порядка были построены асимптотические по е разложения решений и доказаны оценки близости между точным решением и полученным разложением. Главным слагаемым этого разложения являлось решение осредненного уравнения. Построение нескольких слагаемых такого разложения позволяет определить не только осредненные характеристики, но и микроструктуру полей в микронеоднородной среде (например, полей напряжений или тепловых полей в композиционном материале). Это дает более полное представление о физических процессах, протекающих в микронеоднородных средах.
Вопрос о вычислении осредненных характеристик для уравнений в частных производных имеет давнюю историю и ставился еще в классических работах Пуассона, Максвелла, Рэлея, Фойгта, Рейсса. Аналогичный вопрос для обыкновенных дифференциальных уравнений ассоциируется с методами нелинейной механики, развитыми в трудах Пуанкаре, Ван дер Поля, Крылова, Боголюбова, Митропольского и многих других исследователей. Первые строгие математические результаты для линейных уравнений в частных производных второго порядка дивергентного вида с периодическими быстрооспиллирующими коэффициентами были получены в работах [4,5,102,103,111].
В работах Н. С. Бахвалова [4,5] получены начальные члены асимптотических разложений и доказаны соответствующие оценки для эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида и их нестационарных аналогов - уравнений параболического и гиперболического типа. Результаты этих работ обобщены и систематизированы в книге
Н. С. Бахвалова и Г. П. Панасенко [9]. Аналогичным вопросам для таких уравнений посвящены также работы А. Бенсуссана, Ж.-Л. Ли-онса и Г. Папаниколау [102,103], развернутое изложение этих работ и соответствующие обобщения приведены в книгах [104] и [129].
В отличии от работ [4,5], в которых при обосновании полученных разложений доказываются оценки разности между точным решением рассматриваемого уравнения и полученным разложением, в работах [102,103] доказывается только сходимость в соответствующем про-
ВВЕДЕНИЕ

и S. Кроме того, через {} обозначается интеграл по F от функций, определенных на этом множестве.
Теорема 4.1. Пусть выполнено условие (0.28). Тогда для каждого ы ССО и достаточно малых е для последовательностей {и£} п {рг} при е —> 0 имеют место соотношения
р£ —р в норме L2 (0, Т; L2(oj П Qe)/R) (0.46)

(сг/е2)г<е —¥ u = А (/ — Vp) слабо в L2 (0, Т; Ь2(П)П),
где cliv гл = 0 в О, (и, у) =0 на 00. Здесь А = (а) и а (у) является матрпчнозначным 1-периоднческим решением краевой задачи для стационарной системы Стокса на F:
—До + V£> = Е, diva — 0 в F, a = 0 на S.
Теорема 4.2. Пусть выполнено условие (0.29). Тогда для каждого сиССО и достаточно малых £ для последовательностей {«е} и {р£} при £ —> 0 имеют место соотношения (0.46) II
ue—¥ и = А2(£) * (f— Vp) слабо в L2 (0, Т; Ь2(0)п),
где div и = 0 в О, (и, у) = 0 на OQ, и * обозначает свертку по t. Кроме того, u£ —> и слабо-* в L°°(0, Т; L'2(0)n), если / Е L1 (О, Т; L2(0)n). Здесь A2(t) = (a(y, £)) и a(y,t) является матрпчнозначным 1-периодическим решением начально-краевой задачи для нестационарной системы Стокса на F:
а, — 0 До + ПЬ = 0, diva = 0 в F х (0, оо), о = 0 на 5х(0,оо), at=0 = Q(E) в F,
rfleQ(E) = Е — ЧВ и В (у) является векторнозначным 1-периоднческим решением задачи Неймана на F:
АВ = 0 в F, (V B,v) = (E,v) на S. (0.47)