Нелокальные краевые задачи для одной вырождающейся системы гиперболического типа второго порядка с кратными характеристиками

• Автор: Огородников, Евгений Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 148 с.

Содержание
Введение
1 Основные определения и некоторые свойства матричных интегродифференциальных операторов
1 Функции матричного аргумента и определения некоторых
специальных функций с матричными параметрами
2 Оператор дробного интегро-дифференцирования Римана-
Лиувилля, его обобщения и модификации
3 Матричный интегродифференциальный оператор Римана-
Лиувилля, некоторые его свойства и обобщения
4 Некоторые композиционные тождества для матричных ин-
тегродифференциальных операторов Римана-Лиувилля и системы интегральных уравнений абелевского типа
2 Краевые задачи для системы уравнений с вырождением типа
1 Неединственность решения задач Коши-Гурса
2 О корректности задачи Дарбу
3 Корректные постановки задач Коши-Гурса и Дарбу с данными на всей границе характеристической области
4 К постановке нелокальных краевых задач для системы
уравнений (1.1)
5 Краевая задача с матричным аналогом нелокального условия типа Бицадзе-Самарского
3 Нелокальные краевые задачи для системы уравнений с вырождением порядка и корректность начальных и краевых задач для некоторых вырождающихся гиперболических уравнений с инволютивным отклонением

1 Краевые задачи с условиями типа Бицадзе-Самарского для системы уравнений с вырождением порядка
2 О корректности начальных краевых задач для одного гиперболического уравнения с вырождением порядка и инво-лютивным отклонением
3 О корректности некоторых краевых задач для уравнения типа Бицадзе-Лыкова с инволютивным отклонением в одном специальном случае
Литература

Введение
Теория неклассических краевых задач для вырождающихся уравнений с частными производными занимает одно из ведущих мест в современной теории дифференциальных уравнений. Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми [131], S. Gellerstedt [145], Ф.И. Франкля [133], К.И. Бабенко [28], М.А. Лаврентьева [79], A.B. Бицадзе [36], [39]. Дальнейшее развитие теория краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений получила в работах И.Н. Векуа [41], O.A. Олейник [103], R.P. Gilbert [146], Е. Holmgren [153], A. Weinstein [167], В.П. Михайлова [84], A.A. Дезина [53], М.М. Смирнова [123], [124], И.М. Петруш-ко [105], Е.И. Моисеева [86], С.П. Пулькина [106], [107], В.И. Жегало-ва [58], [63], [64], В.Ф. Волкодавова [43], [48], А.М. Нахушева [90], [91], [98], К.Б. Сабитова [114], [115], Н.В. Кислова [72], [73], Y.K. Kwok [160], М.Е. Лернера [82] и других отечественных и зарубежных авторов.
Подробный анализ работ, отражающих современное состояние теории краевых задач для вырождающихся уравнений с частными производными и обширная библиография содержатся в монографиях М.М. Смирнова [123], [124], [125], A.B. Бицадзе [33], [35], A.A. Дезина [54], М.С. Сала-хетдинова [116], Е.И. Моисеева [85], С.А.. Терсенова [130], В.Н. Врагова [50], Т.В. Чекмарева [135], Л.И. Янушкаускаса [140], А.М. Нахушева [89], В.Ф. Волкодавова и Н.Я. Николаева [45], O.A. Репина [109], С.Г. Самко, A.A. Килбаса, О.И. Маричева [121], М.М. Хачева [134].
Решение многих практически важных задач, связанных с динамикой почвенной влаги [96], [99], [42], [139], [77], описанием процесса диффузии частиц в турбулентной плазме, моделированием процесса излучения лазера [141] и диффузии в трехкомпонентных системах [168], приводит к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в монографии А.М. Нахушева [89], исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи. Такие за-

D_Gf
ax A
Отметим, что если A(G) Є C+, G Є М2, то формула (3.2) имеет один и тот же вид и при Аі ф А2, и при Ai = А2; однако, явное представление матричного интегрального оператора через скалярные
операторы будет следующим:
+ А,#А2;
a,-a2 л2-а, (35)
ED-JS + (в -XE)(D-4 - где оператор определен в (2.5).
При тех же условиях, представление матричного дифференциального оператора через скалярные операторы при Аі ф дается первой формулой в (3.4), а при Ai = А2 = А Є [0,1) оно будет следующим:
D®f = sign (1 - +
+ (G - AE)(D-f _ ф{1 _ A)Bi(‘-«f)]. (3.6)
Заметим, что определяя дифференциальный оператор DGC при Ai = А2 = А формально равенством
D° f = Sign (х - a)EDf + (G - AE)(D»{ - (-)DC)}
и сопоставляя эту запись с формулой (3.6), получаем представление дифференциального оператора через дробные интегралы (см. (2.5)):
(3.7)
D»f = sign (х-а)ф f
где используется тождество ф(—г) — ф{ 1 — z) = 1/z [29].
Из определения (3.2) следует, что

Darf f = sign ix ~ а)[Г(-Б)]~1 f х~ dt

= sign (x — a)E J f (t)dt, (3.8)

где Е — единичная матрица, а О — 0-матрица в Мп.
Равенство Т)®х — Е, определяющее тождественный матричный оператор, теперь следует из формулы (3.3):

л а л
= 8І8П (® - = _ °ЕдІ У = (3-9'1