Краевые задачи для эллиптических систем в Rn

• Автор: Кренделев, Сергей Федорович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 79 c. : ил

Работа посвящена изучению свойств решений эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных первого по-рядка в пространствах В. при п>3 . в монографиях И.Н.Векуа [I], В.Н.Монахова 2], а также в обзорных работах Р.Гилъберта
[3], А.Дуглиса [4] дано систематическое изложение теории эллиптических систем первого порядка на плоскости с точки зрения теории функций одного комплексного переменного, либо обобщения этой теории на векторнозначные функции. Используя результаты теории функций, удается выяснить структуру решений эллиптических систем первого порядка и изучить классические краевые задачи для этих систем.• '

Системы первого порядка в £п при с такой полнотой,

как при т-2. не изучены. Это связано с целым рядом обстоятельств. Во-первых, не было ясно, как должна выглядеть теория функций в этих пространствах. Во-вторых, запас систем первого порядка' при п^З невелик, и все известные примеры таких систем получили "именные" названия: система Моисила-Теодореску, система Фуетера, оператор Ботта, стационарное уравнение Дирака. В работах А.В.Би-цадзе [5], В.И.Шевченко [б] и др. изучались свойства системы Моисила-Теодореску, для которой по аналогии с уравнением Коши-Еи-мана строился интеграл типа Коши, решался с его помощью некоторый класс сингулярных интегральных уравнении. В работах Р.Фуете-ра I?] и его учеников строилось обобщение комплексного анализа в пространстве с точки зрения уравнения Фуетера.
В последнее время было замечено, что все известные примеры эллиптических систем первого порядка имеют общую природу,а именно, все они получаются из факторизации некоторого эллиптического опера

тора второго порядка, как правило,оператора Лапласа. Процедура разложения квадратичной формы на "сомножители" осуществляется с помощью алгебр Клиффорда. Тем самым с помощью алгебр Клиффорда удается строить примеры эллиптических систем первого порядка в любом пространстве . Б связи с изучением уравнений, полученных таким образом, возник так называемый Клиффордов анализ, в котором полученные уравнения интерпретируются как условие моногенности функций, заданных в Й.* со значениями в алгебре Клиффорда. Таким образом появилась теория , с одной стороны, являющаяся аналогом теории функций комплексного переменного, а с другой - описывающая свойства получившихся операторов первого порядка. Многочисленные результаты, полученные в рамках Клиффордова анализа, собраны в монографии 18]. На этом список известных примеров определенных систем первого порядка исчерпывается.
С целью получения новых примеров эллиптических систем автором была высказана гипотеза о том, что понятие алгебры Клиффорда можно с квадратичных форм обобщить на произвольные однородные формы любого порядка однородности и любого числа переменных. Гипотезу автору доказать не удалось, хотя некоторые подтверждающие примеры были построены. И.В.Львов в работе [9] анонсировал доказательство этой гипотезы и устно сообщил схему доказательства. Поскольку в настоящее время опубликованного доказательства нет, то автор счел нужным привести доказательство, приспособленное для построения дифференциальных операторов и выяснения их структуры. Заметим, что помимо построения новых примеров эта теорема применяется для изучения общих систем любого порядка в пространстве любой размерности. Это применение приведено в работе автора 114].
В приложениях возникают также переопределенные эллиптические системы первого порядка. Для изучения таких систем служит моделью теория функций многих комплексных переменных. Основными задачами

здесь является построение интегральных представлений, условия разрешимости неоднородных систем, разрешимость простейших краевых задач.
В обзоре Д.Спенсера [16] приведены результаты, касающиеся разрешимости неоднородных уравнений. Конструкции, приведенные в обзоре, труднообозримы, поэтому к конкретным системам их приложить сложно. В данной работе приведены более удобные способы получения условий разрешимости. Интегральным представлениям для функций многих переменных посвящено огромное количество работ. Состояние дел в этой области приведено в записках семинара Ф.Норге [10], в обзоре Г.М.Хенкина, Е.М.Чирки [II], в книге Б.В.Шабата [13]. В работах Л.Альфорса [12] и Ю.Г.Решетняка [15] построены интегральные представления для систем первого порядка, возникающих в теории устойчивости квазиконформных и квазиизометрических отображений. Заметим, что структура этих систем совершенно не похожа на многомерные уравнения Коши-Римана. Тем не менее, все полученные интегральные представления можно вложить в некоторую общую схему, приведенную в работе автора [17]. Для краевых задач для переопределенных систем первого порядка практически ничего не сделано. В теории функций многих комплексных переменных рассмотрена задача о "скачке"; результаты в этом направлении приведены в обзоре Е.М.Чирки [18]. Даже для такой простой задачи возникают трудности, связанные с появлениями касательных уравнений Коши-Римана. В работе автора [17] изучается задача о "скачке" для произвольных эллиптических систем первого порядка и выводится аналог касательных уравнений Коши-Римана.
•Перейдем теперь к изложению результатов, полученных в диссертации. В главе I изучаются свойства эллиптических систем первого порядка. В п. 1.1 вводятся основные определения эллиптического оператора, эллиптического комплекса, дифференцирование разрывных

Во-первых, если оператор Д. был порождающим для
£=Х ‘ £
некоторой системы типа Бельтрами, то, убирая часть независимых переменных, снова получим порождающий оператор; именно так из оператора Фуетера получается оператор Моисила-Теодореску. Во-вторых, пусть 8 - квадратная, невырожденная матрица произвольного размера и нормальная 6 В = В В . Всякой матрице Д- оператора Р сопоставим пару матриц
Д; ~ В &А; Д- = Д: ® В
* 1 ) i *
где ® - тензорное произведение. После чего рассмотрим новые операторы:
- жг ~ ^ п V /Г
Р-2, аЦ 1 1 }=1 *
Предложение 2.1.2. Если оператор Р был порожо. —•
дающим для некоторой системы типа Бельтрами, то р , р также являются порождающими.
^Доказательство. Сначала нужно проверить, что Р, Р эллиптичны. Условие того, что Р эллиптичен, означает,
л "
£ Добратима для всех %ф0 . Но если Д 5
обратима, то из свойств тензорного произведения следует обрал «
тимость матриц В®[2-|Д§) > что и означает,
что Р , Р эллиптичны.
Для нормальности в силу предложения (2.1.1) нужно проверить , что

гад=дд']--<>