О некоторых задачах управляемости нелинейных систем

• Автор: Мастерков, Юрий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 93 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Метод штрихованных границ траекторных воронок управляемых систем
§ 1. Траекторные воронки управляемых систем
§ 2. Особые многообразия управляемых систем
§3.0 степени гладкости границ траекторных воронок линейных систем
Глава 2. Устойчивая управляемость нелинейных систем
§ 4. Различные типы локальной управляемости
§ 5. Устойчивая управляемость на плоскости
§ 6. Устойчивая управляемость в К”
Глава 3. Глобальная устойчивая управляемость
§7. Вспомогательные утверждения
§ 8. Достаточные условия глобальной устойчивой управляемости
Список литературы

Введение
В данной работе рассматривается управляемая система
х = /(х,и), жеГ, « £ [/ С Г (0.1)
и различные вопросы управляемости данной системы.
Проблемы управляемости динамических систем, интенсивно изучаемые с 1961 года, когда на первом конгрессе ИФАК был прочитан доклад Р. Е. Калмана [12], не потеряли своей актуальности и сейчас. В линейной постановке эти вопросы хорошо изучены и достаточно полно освещены в научных монографиях и учебных пособиях. Для нелинейных же систем вопрос об управляемости, в частности исследование локальной нуль-управляемости, исследован не настолько хорошо, как для линейных систем. Особый интерес представляет исследование локальной нуль-управляемости в, так называемом, «критическом случае» (т. е. в случае, когда система линейного приближения для системы (0.1) не является вполне управляемой). Именно критические случаи доставляют массу интересных эффектов пограничной управляемости. Например, показано, что система может быть управляемой и при этом не являться устойчиво управляемой (см. ниже). Целью данной работы является изучение условий локальной управляемости, устойчивой локальной управляемости, устойчивой глобальной управляемости и позиционного управления системой (0.1) в критическом случае. Специальное исследование предпринято для системы второго порядка. Построены примеры внешне простых систем вида (0.1) с аномальным поведением управляемых траекторий.
Работа состоит из введения, трех глав, восьми параграфов (нумерация параграфов сквозная) и списка литературы.
Перечислим основные результаты диссертации.
В первой главе рассматривается, предложенный А.Г. Бутковским [4], «метод штрихованных границ траекторных воронок». В основе данного метода лежат понятия конуса допустимых направлений, траекторной воронки, штрихованной боковой границы жесткой траекторной воронки и особых многообразий системы (0.1).
В первом параграфе вводятся понятия конуса допустимых направлений, траекторной воронки, штрихованной боковой границы жесткой тра-

екторной воронки данного метода.
В качестве допустимых управлений системы (0.1) берутся всевозможные измеримые функции и : і —> Л.
Допустимым решением системы (0.1), удовлетворяющим начальному условию х(0) = Хо, называется абсолютно непрерывная вектор-функция ж(і), і Є [0, г], которая почти всюду на отрезке [0, г] удовлетворяет системе (0.1) при некотором управлении и(і), і Є [0,т].
Конусом допустимых направлений скоростей системы (0.1) называется множество
К(ж0) = {ох Є ТКХо: а Є 1.+, х Є Д(ж0) = /(х0,?7)},

(здесь ТКХо = {у Є М” : У = Ю Сі € Д, иг- Є Д} — так назы-

ваемое, пространство скоростей системы (0.1)). Т.е. К(хо) — это конус, состоящий из всех лучей, выходящих из точки 0 Є ТКХ0 и имеющих непустое пересечение с множеством Д(хо) = /(Ж(Ц Д)
Множество всех точек в Еп, в которые можно перейти из точки Жо Є К" за время т 0, двигаясь по допустимым траекториям системы (0.1) называется множеством достижимости из точки жо за время т и обозначается Вт(жо).
Отрезком траекторией воронки системы (0.1) называется множество
У(хо,т) = У Щ{хо).
Точка жо называется вершиной траекторной воронки У(жо,г).
Основанием траекторной воронки У’(хо,т) называется множество
д/У(ж0,г) = аУ(ж0,т){У 9У(ж0,і)};

т.е. основание і9/У(жо,г) состоит из тех точек траекторной воронки 1/(жо,'г), в которые молено попасть из точки жо за время т с помощью допустимых управлений и нельзя перейти за время меньшее г.
Множество деУ(хо,т) = 9У(хо, т)9/1/Г(ж0,і) называется боковой границей траекторной воронки У(хо,т).
Траєкторная воронка У(хо,т) называется жесткой, если существует такое є > 0, что для любых і Є (0,т + є), І2 Є (0, г + є), іі < іі

Определение 2.3. Инвариантным многообразием Ьк системы (2.1) называется многообразие вложенное в Е” и обладающее следующим свойством: для любого допустимого решения ж(£), t £ [0, г), удовлетворяющего условию ж(0) £ Ьк, следует х{£) С Ьк для всех £ [0, т)-
Очевидно, что для того чтобы некоторое многообразие Ь, описываемое уравнением 1{х) = 0 (т.е. Ь = {х £ М" : 1{х) — 0}), было инвариантным для системы (2.1), необходимо и достаточно выполнение условия
= 0’ М
для всех X £ Ь, и (Ц и. Но это условие равносильно тому, что функция 1(х) удовлетворяет уравнениям
Н(х, д 1{х)дх) = тах/(ж, и), = 0,
Н(х, —д1(х) дх) = тах/(ж, и),—-тр—
Откуда следует очевидное: Г С §.
Все инвариантные многообразия можно разделить на два вида: изолированные инвариантные многообразия, т.е. такие, в некоторой окрестности которых, нет точек других инвариантных многообразий; и неизолированные, иногда заполняющие (расслаивающие) все пространство М".
Так к примеру, для системы (2.5) каждое интегральное многообразие Г* системы векторных полей {/о(ж),Л (ж)} будет являться инвариантным многообразием системы (2.5), причем в силу леммы 2.1 выполняется условие гапк(/о(ж), /фж)
Определение 2.4. Гладкое многообразие 1 С К" называется слабо инвариантным для системы (2.1), если для любой точки жо £ Ь существует такое допустимое управление пЖо(), £ £ [0, ос), что соответствующее ему решение ж(£) = ж(£,иЖо(-)) удовлетворяет условию ж(#) £ Г для всех £ £ [£о, оо).