Конечнозонные решения уравнений Sin - Гордон и Sh - Гордон

• Автор: Козел, Вячеслав Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Харьков
• Количество страниц: 106 c. : ил

ГЛАВА I. МЕТОД ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ЗАМЫКАНИЙ

§ 1.1. Система уравнений для матрицы монодромии.

Решения специального вида

§ 1.2. Полиномиальное замыкание. Системы обыкновенных автономных дифференциальных уравнений для коэффициентов полиномов и их совместность.

Условия вещественности

§ 1.3. Существование в целом вещественных

конечнозонных решений

ГЛАВА 2. ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КСНЕЧНОЗОННЫХ РЕШЕНИЙ

§2.1. Система уравнений для нулей основного полинома

§2.2. Явное выражение, конечно зонных решений через

тэтаг-функции
ГЛАВА 3. ПОВЕДЕНИЕ КОНЕЧНОЗОННЫХ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ
, . ОСОБЫХ ТОЧЕК
§ 3.1. Поведение на бесконечности вещественных
конечнозонных решений.уравнения
£цг -Гордон
§3.2. Особые точки вещественных конечно зонных
решений уравнения -Гордон
§3.3. Условия компактности семейств конечнозонных
решений уравнения -Гордон
ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена построению конечнозонных решений уравнений вш -Гордон и 3^ -Гордон на основе метода полиномиальных замыканий и исследованию их поведения на бесконечности и вблизи особых точек. Названные уравнения имеют вид
- иХх. 4 У ~ О (I)
Уы. - Ухл + И = 0 (2)
и находят важные приложения в физике и геометрии.
Задача Коши для уравнения (I) в классе быстроубывающих (по модулю .2.7Г ) начальных данных исследовалась методом обратной заг-дачи рассеяния. Как известно, этот метод основан на коммутационном представлении нелинейных уравнений с помощью линейных дифференциальных операторов (представление Дакса). Такие представления были найдены в работах [I] и [2] для уравнения
^ V - О (3)
и решена задача об отыскании многосолитонных решений этого уравнения. Далее В.Е.Захаров, Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев в [з] ног-ходят представление Лакса для уравнения (I) и дают полное описание его многосолитонных решений, и затем Л.А.Тахтаджян и Л.Д.Фад-деев в работе Г4 ] устанавливают эквивалентность задач Коши для уравнений (I) и (3) в классе быстроубывающих начальных данных (функций из пространства Шварца). Полное решение обратной задачи теории рассеяния для ассоциированных с уравнениями (I) и (2) ли-

нейных дифференциальных операторов и на этой основе описание мно-госолитонных решений этих уравнений представлено в диссертации Л.А.Тахтаджяна ( [5] ).
Следует отметить, что достаточно быстрое убывание начальных, данных (для уравнения (I) - по модулю Л.Т ), связанное с применением метода обратной задачи теории рассеяния является принципиальным. В связи с этим решение периодической задачи для уравнений
(I) и (2) представляло значительные трудности.
Начало изучению периодических и конечнозонных решений нелинейных эволюционных уравнений было положено в 1974 г. в работах
B.А.Марченко ( Гб]), С.П.Новикова ( [7] ) и П.Лакса ( [8] ), в которых рассматривалось уравнение Кортевега-де Фриса (КдФ). В то же время опубликована работа В.Б.Матвеева и А.Р.Итса ( [9] ), в которой впервые найдено явное выражение конечнозонных потенциалов оператора Шредингера через тэта-функции Римана. Эта работа вместе с исследованиями С.П.Новикова и Б.А.Дубровина ( [ю], [н] ) сыграла решающую роль в выражении конечнозонных решений нелинейных уравнений явными формулами.
После первых работ указанных авторов началось интенсивное развитие и обобщение предложенных ими методов в применении к другим важным нелинейным уравнениям, в том числе нелинейному уравнению Шредингера, уравнению £иг-Гордон и многим другим. Здесь следует отметить, что методы нахождения конечнозонных решений, в том числе периодических, предложенные В.А.Марченко с одной стороны и
C.П.Новиковым и П.Лаксом - с другой, несколько отличаются, поэтому эти методы для других нелинейных уравнений развивались по двум направлениям. В работах того направления, которое определили результаты С.П.Новикова, В.Б.Матвеева, А.Р.Итса, Б.А.Дубровина и П.Лакса (сюда же следует отнести некоторые более поздние резуль-

Р(Г) = - П (il-еД r; гe'J = П (i'- *>;*■)' (I>57)
Затем построим полином (? , задав его значения в точках
/>?£ следующим образом
Q(K)=llV-^r > у
при этом последовательность знаков перед корнем при различных К может быть выбрана произвольно и далее будем считать ее за-данной. Иопользуя, например, интерполяционные формулы Лагранжа, восстановим многочлен Q (*■) по его значениям 0(>Ъц) (степень его не выше A- i ) и введем в рассмотрение полиномы
~ - J) (гг) - (ъх)
Р„Ш~€)(г'), К (*■')* -J — (1.58)
Очевидно, построенные таким образом многочлены удовлетворяют условиям теоремы, при этом следует отметить, что нули ± полинома Ry (ъ*-) также вещественны и находятся ровно по одному в тех интервалах, где pfz*) Ï О t то есть I &г.ц-> ( л £{hyj L[^zK.l • Действительно, перепишем (1.58) в виде
я; ш и; ач = y(i') - г145 (?)
и рассмотрим многочлен в правой части равенства. Степень его равна к ^ , старший коэффициент, по построению Р(%?) , равен - i и Л.М его нулей находятся в точках ± . Рассмотрим интервал ( j eZK ) . На концах этого интервала рассматриваемый многочлен принимает отрицательные значения:
- ) , а во внутрен-