Некоторые задачи теории усреднения эллиптических операторов

• Автор: Сукретный, Василий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 c. : ил

ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
§ I. Основные определения и обозначения.Постановка
задачи
§ 2. Исследование вспомогательных задач
§ 3. Построение асимптотического разложения
§ Д. Сходимость энергии
§ 5. Краевая задача с условиями Неймана на границе
полостей
Глава II. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
§ I. Постановка задачи..Основные определения и
обозначения
§ 2. Исследование вспомогательных задач
§ 3. О поведении на бесконечности решений задачи
(2.6), (2.7)
§ Д. Построение и обоснование асимптотического раз-
. ложения
§ 5. Сходимость энергии
Глава III . АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА-С.НЕРАВНОМЕРНО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ I. Постановка задачи. Основные определения и
обозначения
§ 2. Построение и обоснование - асимптотического раз-
. ложения
§ 3. Сходимость энергии и обобщенных градиентов
Литература

Многие задачи механики сильно неоднородных сред приводят к необходимости построения усредненных моделей для этих сред. Требуется построить модель среды, локальные свойства которой быстро меняются, и поэтому удобнее перейти от микроскопического ее описания к макроскопическому, т.е. рассматривать ее усредненные характеристики. Во многих случаях рассматриваемые физические про -цессы описываются дифференциальными уравнениями с частными про -изводными, причем сильная неоднородность сред приводит к изучению дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами вида &(е~1х) , где ь - порядок масштаба неоднородности среды. Функция в зависимости от характера микроструктуры
среды является периодической, почти периодической, реализацией случайного поля или другой. Мы будем рассматривать случай, когда Щ) является периодической.
Исследованию асимптотического поведения решений уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами посвящена обширная матема -тическая литература. Достаточно подробный обзор этих работ можно найти в [6,7,25,35,ДО]. В работах[1-Д] разработан формализм по -строения асимптотического разложения внутри области решений диф -ференциальных уравнений и систем с быстро осциллирующими перио -дическими коэффициентами. В большинстве работ, посвященных этой тематике, либо рассматриваются уравнения во всем пространстве, либо исследуются только нулевые приближения решения краевой за -дачи. Между тем, в окрестности границ образуются пограничные слои, в которых градиент решения сильно отличается от градиентов приближенных решений полученных в указанных работах. Учет таких

пограничных слоев играет важную роль при исследовании ряда прикладных задач (например, процессов разрушения композитных материалов: разрушение начинается от границы , где создаются дополнительные напряжения И)-
В работах [9,20,24,25] указан метод построения асимптотических разложений решений в замкнутой области, с учетом погранслой-ных добавок вблизи плоских границ. В работе [25] дано обоснование асимптотического разложения при в->о для решений эллиптического уравнения 2-го порядка с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами в полупространстве с условиями Дирихле на границе области.
В работе [20] рассматривается система теории упругости с периодическими быстро колеблющимися разрывными коэффициентами в области -Г2£, содержащей периодически (с периодом £ ), распо
ложенные полости и ограниченной также гиперплоскостями
•ЭСц. — о и Хп = ОІ . Для решений системы теории упругости в области <=■ , периодических по аг* ^ зСа-і , с граничными
условиями , определяемыми перемещениями , заданными на плоскостях Х-п - О и х^-оі , и нулевыми нагрузками на границе полостей , получено асимптотическое разложение по степеням параметра £ и дана оценка остаточного члена. Необходимость рассматривать задачи такого рода возникает при изучении композитных и перфорированных материалов, имеющих периодическую структуру, каждая ячейка которого состоит из конечного числа разнородных материалов и содержит конечное число полостей, причем размер ячейки характеризуется малым параметром £ . Построение и обоснование асимптотического разложения решения системы теории упругости с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами в перфорированном полупространстве получено в работе [9].
В работах [37,38] рассматриваются уравнения второго порядка

2 г і э-А/к (х,у) ЗІ[0 . г о 3 р ч-| Э / эК N
* I. ' '2Х* ЪХ* + ЭХрХк: )] +І5і 3^ ЗдГк ) +
9 , -іГІ / зДс° за^х.і/п эУ°
+ ї 2цс(ач ^Чі з** ) = £ [э^: (^(Х/У) ) эус ] эх*
гзац(*,£) о , . пэ<^у) з , эЛ^ЗДу, з£
+[ зїг- +ГхМя(х>я*^) + Щі'аіі--2ьц +
* Га* *
э Г / ъ№(х,Ч) ъУо АГо Ъ1Уо 4-і
+ 8 ьїі [ а4(х,у) ( зх* + <** (*, У) з^эзск )]
= и(К(*,ч))^ - і1ШІ%)Ь$гц+ і^Р (-£Р*(*)э^Ь
з г / аЛк (эс,у) э!£ ( кГ0 # Э Ус._. р
+ Ьэяч 1ау(аг,^)( ззу 31« б^Ь^а*«)] = |(х)-
э з М>1 х іУ _э / . /К +
- (ач(а.у) ^ ) эз^ э^^уб*»#) з^ Ъхрэху
2. г . / з АГк°(*,у) з К , л/-“, „, і!І° м
+- £ зяі [аС(>(х,^ ( ^т— эзск + '»к (*,9) а*,»*« )]
С учетом того, что
Л«.»». _ е3і<ьі) . . їіМ>
•91
М ^ 1. у* і ?