Нелинейные вариационные аналитические и коаналитические задачи в весовых пространствах

• Автор: Зубков, Павел Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 81 с.

Содержание.
Введение
Глава 1. Аналитическая и коаналитическая периодические задачи в полуполосе
1. Определение основных пространств
2. Теорема об ортогональном разложении
3. Модельный пример вариационной аналитической задачи
4. Общая аналитическая задача
5. Коаналитическое уклонение. Постановка коаналитической задачи
6. Существование и единственность наилучшего продолжения
Глава 2. Аналитическая и коаналитическая задачи в круге
7. Определение основных пространств
8. Теорема об ортогональном разложении
9. Модельный пример вариационной аналитической задачи
10. Общая аналитическая задача
И. Коаналитическая задача. Существование и единственность наилучшего продолжения
Список литературы
Введение.
Диссертация посвящена исследованию нестандартных краевых задач для уравнений с частными производными, возникающих как математические модели вариационных задач на аналитических и коанали-тических подпространствах весовых пространств Соболева.
Изучение нелинейных аналитических и коаналитических вариаци- ]

онных задач было начато в недавних работах Ю.А. Дубинского (см. список литературы), в которых был исследован ряд соответствующих краевых задач неклассического типа: периодическая аналитическая задача с дополнительным потенциалом, аналитическая задача без граничных условий, включение Эйлера задачи минимизации коаналити-ческого уклонения и другие. Однако исследования Ю.А. Дубинского относились к случаю невесовых соболевских пространств.
Одной из основных целей настоящей работы является формирование и исследование аналитических и коаналитический вариационных моделей в случае весовых пространств в единичном круге и в полуполосе на комплексной плоскости.
Необходимо отметить, что ключевым моментом при формировании самих математических моделей аналитических и коаналитических задач является результат об ортогональном разложении квадратично суммируемой с рассматриваемыми весами функции на аналитическую и коаналитическую составляющие, который имеет, на наш взгляд, и самостоятельный интерес, и которому в работе уделено значительное внимание.
Исследования, представленные в диссертации, проводятся в рамках общей теории уравнений с частными производными на базе как вещественной, так и комплексной теории функций и функционального анали-

за. При решении поставленных задач используются методы исследования дифференциальных уравнений, созданные в теории коэрцитивных и монотонных операторов. Широко использованы пространства Лебега и Соболева. Существенную роль в получении основных результатов сыграло наличие ортогонального базиса в подпространствах аналитических функций в круге единичного радиуса и в полуполосе.
В работе представлены следующие основные результаты:
1. Установлено ортогональное представление квадратично суммируемой с весом функции в виде суммы аналитической и коаналитической составляющих.
2. Изучена нелинейная аналитическая задача вариационного типа в рамках весовых пространств Соболева.
3. Исследована задача о минимизации коаналитичекого уклонения при продолжении заданной граничной функции внутрь области также в пространствах Соболева с весом.
Результаты п.п. 1—3 получены в случае полуполосы комплексной плоскости и в случае круга единичного радиуса.
Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер.
Основные результаты диссертации докладывались на научно - исследовательских семинарах: семинаре МИР АН им. В.А. Стеклова под руководством акад. РАН С.М. Никольского, члена-корр. РАН О.В. Бесова и члена-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева, семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Ю.А. Дубинского, семинаре по вычислительной математике и математическому моделированию под руководством проф. A.A. Амосова и проф. A.A. Злотника (кафедра математического моделирования МЭИ), на совместном заседании семинара им. И.Г. Петровского и Московского математического

определяет линейный ограниченный функционал над е~уу), ко-
торый равен нулю на подпространстве 0(0,е_'7У). Таким образом, уравнение Эйлера (3.2) имеет место в смысле теории обобщенных функций над пространством И/21(бг, е~уу), т.е. в смысле И/2~1(0,е~7у). Соответственно, коаналитический потенциал р(г) должен быть таким, чтобы -д2 {цр{г)) в
** I

§4.Общая аналитическая задача В области (? рассмотрим нелинейную задачу порядка 2т (т > 1)

£(-1 )кОкхАк(гЛг),Г(г)
к=0 *
/(г + 2тт) = /(г), р(г + 2тг) = р(г), (4.1)
Р(г) |у=о= °> Р
(как обычно, через Ох обозначен оператор дифференцирования по переменной ж).
Здесь Д.*:(г,£о) )£т) _ функции, удовлетворяющие условию Каратео-дори, т.е. ДЛЯ всех £о£ С1 измеримы ПО 2 и для почти всех г£(? непрерывны ПО £о» , £т
Допустим, что выполнены следующие условия:
I. Условие ” под линейного” роста: для почти всех г £ С и всех

ИМг,£о,-",6п)1 < М1 +(р)> к = 0,1

где дк(г) - некоторые действительные функции из Т2(С, е~7У), М > 0 - постоянная.