Некоторые свойства параболических и эллиптических потенциалов и их приложения

• Автор: Коненков, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с.

Оглавление
Введение
1. О поведении вблизи границы пространственной производной параболического потенциала двойного слоя
1.1. Необходимые определения и обозначения
1.2. Интегральные представления и оценки для фундаментального решения параболического уравнения
1.3. Вспомогательные утверждения и оценки
1.4. Главные части старших производных функции У
1.5. Формулы «скачка» для производных потенциалов простого и двойного слоя
1.6. Возможный рост производных потенциалов простого и двойного слоя
при приближении к кривой-носителю плотности
2. О функции Грина для параболической задачи на плоскости
2.1. Функция Грина первой краевой задачи для параболического уравнения
2.2. Вспомогательные утверждения и оценки
2.3. Построение функции Грина
2.4. Некоторые свойства функции Грина
2.5. Точность оценки второй производной функции Грина
3. Разрешимость одной обратной задачи теории параболического потенциала
3.1. Формула Грина
3.2. Обратная задача теории потенциала
4. Разрешимость одной обратной задачи теории эллиптического потенциала
4.1. Вспомогательные утверждения и оценки
4.2. Главные фундаментальные решения
4.3. О гладкости объемного потенциала
4.4. Формула Грина
4.5. Обратная задача теории потенциала
Литература

Введение.
В слое Ю = Яп х (О, Г), Т < оо, рассматривается равномерно-параболическое уравнение второго порядка:
Ьи = щ — а,3(х, )ди — Ь{(х, 4)9,-и — с(х, 4)и = 0, (0.1)
вещественнозначные коэффициенты которого удовлетворяют условиям:
(3 50 > 0) (УР е Б, У£ € Я") ау(Р)- > 50|£|2; (0.2)
аЬг,сёС°'а(Б), а €(0,1). (0.3)
Здесь для п > 1 и мультииндекса к = (кг
и, кроме того, Д = 9//94, дif = д!дх{/, 9,3/ = 9;93/.
Для любой области Р С -О и любого числа а £ (0,1) через Сг,аг(0), г = 0,1,2, [2] обозначаем анизотропные пространства Гёльдера, состоящие из функций / : Р -» Я, для которых конечны соответствующие величины:
||/,П||(°.«) = зир |/(м)| +
+ эир |(/(ж + Ал,4 + Д4) - /(ж,4))| (|Дж|“ + |А4|“'/2)-1,
(я,£),(х4- Д:с,£+Д£)£П |Дх|+|А0
||/,Р||(1’а) = вир |/(а?,4)| +
(#,£)(ЕП
+ вир |(/(ж,4 +А4)-/(ж,4))| [А4|-(1+а)/2 + ||9г/,Р||(0'"),
(#,£),(я,£+Д£)€Й

||/,Р||(2’а) = зир |/(щ,4)| +Е||9г/,Р||(1’“) + ||9,/,Р||(0’“).
(х,г)€П
Через С*’“(Р) обозначаем их подпространства:

С‘,а(Р) = {/ € С*’о|/|4=0 = 0}, I = 0,1,

с2'а(й) = {/ е с2'“|/[,=0 = дЛ=0 = 0}.

Под значениями функций / и производных д1/эп на границе dtt области П всегда подразумеваем их предельные значения изнутри П. Кроме того, нам понадобится пространство C1+a,a2(D) с нормой
||/, Г>||(1+а’“/2) = sup |/(*,t)|+
(x,t)eD
+ sup !(/(*, t + At) - f(x,t))\Atr/2 + Em, D\{0'o).

В диссертации рассматриваются некоторые вопросы, связанные с теорией потенциала в применении к краевым задачам для уравнения (0.1).
Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе изучается поведение пространственной производной потенциала двойного слоя и старших производных потенциала простого слоя для параболического оператора, одномерного по х. Установлена формула «скачка» для указанных производных и построены примеры, показывающие их возможный рост при приближении к кривой-носителю плотности, и, следовательно, возможный рост старших производных решения краевых задач из класса (71,а() Для уравнения (0.1).

Во второй главе устанавливаются оценки для пространственных производных функции Грина первой краевой задачи для полуограниченной области с негладкой «боковой» границей на плоскости. Кроме того, строится пример, показывающий, что полученная оценка второй производной функции Грина является точной по порядку роста при приближении к границе.
В третьей главе проводится исследование разрешимости одной обратной задачи теории параболического потенциала, состоящей в нахождении плотности объемного потенциала по его внешним значениям.
В четвертой главе установлена формула, связывающая фундаментальное решение эллиптического уравнения с фундаментальным решением соответствующего ему параболического уравнения. Эта формула служит основой для исследования гладкости эллиптических потенциалов, проводимого затем в этой главе. Полученные результаты применяются в этой же главе для решения одной обратной задачи теории эллиптического потенциала.
Все эти темы объединены тем, что для их исследования применяются методы теории потенциала. Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.
В первых двух главах рассматривается параболическое уравнение (0.1) с одной пространственной переменной (п = 1), а именно уравнение:
Lu = ut — а(х, t)uxx — b(x, t)ux — с(х, t)u = 0, (0.4)

X exp <
(іх-у)2 (у-О

dydX <
t — А Л
< C(t - г)-1/2 f (t - Л)-1/2(Л - r)“/2_1dA < C{t - т) J(t+r)/2

Zx(x -))x

x[a{y, A) - a(£, A) - a€(f, A)(y - - f, A, r; a(f, -))
dydA <

— A)-1|y — £|1+“(A — r)_2x
r (_c(j
і — A A-rj
C(* - r)“1/2 [* (t - A)“1/2(A - T)a/2_1dA < C(f - r)“/2-1.
Jlt+т)/2
1 (t+r)/2 JR
X exp
|А8(ж,і,£,т)| < f I
J (t+т)/2 v/Й
Zx(x — y,t, A; a(£, )) x
dt/dA <
CÎ W |(A-r)(“-4)/2x
J (t+т)/2 J R
dydX <
(i+r)/2 ./R

X r) - Л)]0 - І)щ2т(У - A-r; a(£’ '))
< C{t - т)~1'2 Ґ (t - A)-2(A - r)a/,2-1dA < C(i - rW2-1.
J (t+т)/2
|А9(ж,г,£,т)| <

J(t+T,
(£+r)/2 ./й
—Zæ(x - y, t, A; a(£, )) f (ÿ - A, r; a(£, ))
dydA <
j (t+T
x exp
(t+T-)/2 JR
АГЬ-ЄІ(А-г)-3/2х dydX <
< C(f - r)“1/2 f (і - A)~1/2(A - r)“1/2dA < C(t - r)-1/2.
J(f+r)/2
В силу равенства (1.41)
|Aio(æ,t,C,r)| = о4(,т) [(t-r)2Z(a:- £,і;т;а(£, ))]